giovedì 1 settembre 2011

Rompicapo...o rompiuovo??

Ecco un altro problema da proporre prima a voi...e poi ai vostri bambini (classe 4^-5^):

La signora Giovanna ha una cascina e vende le uova fresche delle sue galline. Oggi arrivano le sue amiche per comprarle, così Giovanna decide di distribuire in questo modo le sue uova.
A Serena dà metà delle sue uova, più mezzo uovo.
A Carla dà metà delle uova rimaste, più mezzo uovo.
A Flavia dà ancora metà delle uova che le sono rimaste, più mezzo uovo.
In questo modo ha venduto tutte le sue uova...senza doverne rompere neanche una!
Quante uova aveva all'inizio Giovanna?
E quante ne ha vendute a Serena? E a Carla? E a Flavia?


8 commenti:

  1. buongiorno, il quesito che ha postato ieri mi tormenta: secondo i miei calcoli assurdi e arrugginiti la signora avrebbe venduto solo 5 uova?!!!!!!!! quando può svelare il mistero?
    grazie e complimentissimi per il suo blog , è una miniera di diamante per le insegnanti......continui cosi'
    buona giornata e buonissimo anno scolastico
    Rossella

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  2. Il numero deve essere per forza di cose dispari, altrimenti i clienti rimarrebbero straniti ad aver comprato mezz'uovo senza l'altra meta (0,5+,05=1).
    Quindi andando per esclusione, non può essere 3, 5,11. 11 perchè: (11/2)+0,5=6 (5/2)+0,5=3 (2/2)+0,5=1,5 Rimane fuori 0,5
    Andando avanti con i numeri dispari si ha sempre il problema che alcune uova rimangono "fuori" dal conto.
    Quindi Serena avrà (7/2)+0,5=4
    Ora bisogna sottrarre 4 da 7=3
    Carla avrà (3/2)+0,5=2
    Sottraggo (4+2) da (7)= 1
    Flavia avrà (1/2) +0,5=1

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  3. Rossella, dammi del tu perchè altrimenti mi fai sentire vecchia! :-)
    Ti ringrazio per i complimenti e contraccambio agli auguri per un buon inizio d'anno scolastico!
    Lo scopo della pubblicazione di questi piccoli problemi-rompicapo non è quello di proporvi una sfida alla "Settimana enigmistica". Volutamente non metto la soluzione, perchè credo che lo scopo di rompicapo simili sia proprio quello di stimolare la mente e di dimostrare quanto può essere intrigante e motivante cimentarsi in un simile quesito (magari chiedendo la collaborazione di qualcuno che ci può aiutare a risolverlo) ed estremamente appagante arrivare, magari da soli, alla risposta.
    Li propongo prima a voi, per farvi sentire pari ai vostri bambini, nel processo di risoluzione di un problema che stimoli veramente le capacità logiche e intuitive. Questi problemi infatti sono tranquillamente sottoponibili a bambini di classe 4^ o 5^ della scuola primaria.
    Sembrano difficili, ma io che li ho testati diverse volte (una sola volta in classe 4^ e più volte in classe 5^) posso assicurarvi che potrete facilmente rimanere a bocca aperta per le intuizioni dei bambini.
    Si tratta in questo caso di "problemi senza numeri", strani, diversi dal solito. Qui non c'è da applicare una regola o da svolgere un esercizio secondo un procedimento. Qui l'unica cosa da fare è lavorare di cervello. E' proprio per questo che questo problema, dai 10 ai 90 anni si risolve più o meno nello stesso modo. I più grandi e più inclini alla matematica, forse, applicheranno un po' di algebra. Ma tutti gli altri (compresi i bambini), procederanno un po' come ha fatto qui sopra Gabriele, ovvero per tentativi successivi.
    E' lampante all'inizio che si tratti di un numero dispari di uova, perchè è l'unico modo per aggiungere mezzo uovo senza doverlo rompere! I bambini arrivano a questa conclusione quasi subito, come i grandi.
    Poi, non sapendo come procedere altrimenti, vanno a tentativi. Provano con il primo numero dispari che conoscono (1 è impossibile! non lo considerano nemmeno! Come si fa a vendere un uovo a tre persone, senza romperlo??): 3. Poi con 5 (e con 5 non funziona!). E poi con 7...e trovano che col sette tutto quadra! Eccoli in poco tempo arrivati alla soluzione!
    Poi c'è sempre chi non si accontenta (soprattutto nelle classi dove sono stati abituati fin da piccini a rompicapi di questo tipo, anche più semplici) e comincia a far sorgere un dubbio: ma solo con il numero 7 funziona questo gioco? ...
    ;-)

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  4. A me sinceramente questo rompicapo mi ha spiazzato forse per un dettaglio. è quel mezzo uovo. Nel senso se Giovanna prende tutte le sue uova,poniamo 7, e poi metà le dà a Serena, 3 1\2, il mezzo uovo in piu da dove lo prende? E SEMPRE COMPRESO in quei 11? Non si capisce se è compreso o no. Comunque grazie per i tuoi rompi capi!:)Daniela

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  5. Se Giovanna ha solo le sue uova, per forza il "mezzo uovo" lo prende da quelle che ha. Si parla di uova di Giovanna all'inizio, non di altre uova, quindi per forza il mezzo uovo lo aggiunge da lì.
    E poi è impossibile aggiungere mezzo uovo da un altro gruppo di uova: il problema dice chiaramente che le uova non devono essere rotte! :-) Per cui il mezzo uovo in aggiunta deve per forza far parte di quelle che all'inizio possiede Giovanna.

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  6. Ho trovato questo enigma davvero divertente e brillante! Complimenti! Sarà divertente proporlo ad amici e conoscenti di tutte le età :-)
    Tento un approfondimento che mi è venuto in mente questa mattina. Se Giovanna avesse voluto vendere le sue uova a 4 persone, con lo stesso criterio e ottenendo lo stesso risultato (tutte vendute senza rompere un uovo), di quante uova avrebbe dovuto disporre? Per 1 persona basta 1 uovo, per 2 persone ce ne vogliono 3 e per 3 persone abbiamo visto che ce ne vogliono 7. Riflettendo, questa successione di numeri naturali può essere costruita raddoppiando l'ultimo elemento e aggiungendo un'unità. In pratica: 1 = 0*2 + 1, 3 = 1*2 + 1, 7 = 3*2 + 1,... allora 7*2 + 1 = 15 che è proprio il numero di uova necessarie per risolvere l'enigma con 4 persone.
    E con N persone, quante uova sono necessarie? Notiamo che la successione 1, 3, 7, 15, 31,... può essere anche pensata come successione delle potenze di 2 diminuite di un'unità: 2^1 -1, 2^2 - 1, 2^3 -1, 2^4 -1, 2^5 - 1,...
    Notiamo che l'esponente di 2 corrisponde proprio al numero di persone fra cui ripartire le uova, quindi per N persone, a Giovanna servirebbero 2^N - 1 uova :-)
    Funziona anche con 0 persone (2^0 - 1 = 0)
    E se esprimiamo questa successione numerica in base 2 (sistema di numerazione binario), anziché in base 10, allora abbiamo questa curiosa sequenza: 1, 11, 111, 1111, 11111,...
    Correggetemi se ho preso qualche abbaglio :-)

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  7. Dimenticavo... quante uova vengono vendute ad ogni persona? Nel caso di 3 persone abbiamo visto che le uova vendute sono: 4 alla prima, 2 alla seconda, 1 (la rimanente) alla terza. Nel caso di 4 persone la successione sarebbe, 8 alla prima persona, poi 4, 2, 1. Una successione (decrescente) delle potenze di 2.
    Attenzione che l'esponente in questo caso è dato dal numero totale di persone meno l'unità. Per chiarire, 2^(3-1) = 4 (con 3 persone).
    Quante uova sarebbero vendute alla prima persona di N persone totali? 2^(N-1) e così via...
    Complimenti per il blog del quale sono venuto a conoscenza grazie a Gravità Zero!

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  8. Massimo, complimenti a te per le interessantissime considerazioni! :-)
    Il problema era posto come enigma per la scuola primaria. E' chiaro che questo tipo di conclusioni sono forse un po' complesse per la fascia d'età, ma è fondamentale tenerle presenti, soprattutto nel caso in cui anche i bambini vogliano approfondire e cercare di comprendere il "perchè" della soluzione trovata per tentativi. Scoprire una regola, insomma, che permetta di generalizzare la proposta a tutte le quantità e di risolvere a colpo sicuro una serie di situazioni correlate...esattamente come hai fatto tu, Massimo!
    Grazie! :-)

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