Il calendario dei lavori a coppie

Una delle mie attività preferite, nata da un bisogno pratico, in classe quarta! Ecco il racconto dei miei alunni:

"Con la maestra Cristina ci piace lavorare spesso in gruppo per affrontare attività o esercizi di matematica. 

Al rientro delle vacanze di Natale, la maestra ci ha proposto una cosa nuova, che proveremo a realizzare nei prossimi mesi, fino a maggio. 
Ci ha proposto di stabilire un appuntamento settimanale in cui si lavorerà su attività di matematica a coppie. Ma, visto che ormai siamo grandi e che dobbiamo diventare sempre più responsabili e maturi, la maestra ci ha proposto di cambiare di volta in volta le coppie, in modo da provare, almeno per una volta, a lavorare con tutti e imparare a collaborare con impegno con ciascuno dei nostri compagni.

E' bello stare in gruppo con gli amici, è vero. Ma bisogna imparare a lavorare anche con i compagni con cui magari non giochiamo quasi mai. Tanto si tratta di un'ora soltanto da dedicare a questa attività e ci saranno giorni in cui con noi capiteranno gli amici e altri in cui lavoreremo con persone con cui abbiamo meno confidenza... 
Ma tanto ormai ci conosciamo da tempo e sicuramente saremo capaci di lavorare bene con tutti.

La maestra ci ha ricordato che il lavoro a coppie è un momento che serve:
  • per aiutarsi a vicenda a risolvere alcuni esercizi o problemi;
  • a confrontarsi, per capire se il proprio lavoro è corretto o si fanno degli errori;
  • a utilizzare il tempo a disposizione al meglio (chi è più lento si velocizza e chi è troppo veloce può rallentare un po' ed evitare errori spesso dovuti alla fretta);
  • a mettere insieme le idee per collaborare, costruire o ragionare meglio e raggiungere insieme un obiettivo.

Detto questo, la maestra Cristina ci ha posto un bel problema. 
Ci ha detto di provare a costruire tutti insieme questo calendario, facendo attenzione a rispettare questi criteri:
  • ad ogni appuntamento si sarebbero dovute formare sempre coppie diverse;
  • le coppie non avrebbero mai potuto ripetersi: ognuno di noi sarebbe stato con un certo compagno soltanto una volta;
  • ogni bambino sarebbe dovuto stare con tutti gli altri compagni, almeno una volta.

Sembrava un problema semplice da risolvere, invece ci siamo subito accorti che era più complicato del previsto!

Abbiamo subito calcolato che in ogni incontro ci sarebbero state 9 coppie: siamo in 18 e 18 : 2 = 9.
Inoltre abbiamo detto: se ogni volta dobbiamo stare con un compagno diverso, dovremo costruire un calendario con 17 appuntamenti, uno in meno rispetto al numero dei bambini in classe!

Poi abbiamo provato a fare ipotesi su come procedere per costruire un calendario.
Abbiamo pensato prima a quale ordine considerare: se sceglievamo l'ordine dei banchi non sarebbe stata una buona soluzione. I posti cambiano spesso...ci saremmo presto dimenticati le disposizioni!

Allora abbiamo deciso di ordinarci secondo l'ordine alfabetico del registro e di sostituire temporaneamente i nostri nomi (troppo lunghi da scrivere) con il nostro numero nell'ordine alfabetico. Arianna sarebbe stata il numero 1, Ludovico il numero 2, Alessandra il numero 3...e così via!

A quel punto abbiamo ragionato per trovare tutte le possibili combinazioni di coppie.
La prima proposta, arrivata da molti compagni, è stata quella di "accoppiare" i numeri ad ogni appuntamento secondo una regola stabilita. Ad esempio, 1-2, 3-4, 5-6 e così via per il primo giorno...1-3, 2-4, 5-7 e così via per il secondo...e via dicendo.
Sembrava una buona ipotesi, ma...provando a costruirla fino in fondo ci siamo accorti che già al secondo appuntamento non avrebbe funzionato!
1-2    3-4    5-6    7-8    9-10    11-12    13-14    15-16    17-18      per il primo giorno
1-3    2-4    5-7    6-8    9-11    10-12    13-15    14-16    17-18      per il secondo giorno
...ma il numero 17 è già stato con il numero 18! Non funziona!!!

Abbiamo tentato altre combinazioni simili, ma i conti non tornavano mai! Era un grosso problema!


Alice ha proposto di procedere "a caso", cioè programmando gli appuntamenti di volta in volta, semplicemente guardando le coppie che non erano ancora state formate. 
Sì, poteva essere una buona ipotesi, ma...sarebbe stato un lavoro molto molto lungo e difficile! Poi immaginatevi ogni volta ricordarsi se uno era già stato con un compagno o meno...magari dopo 10 appuntamenti! Sarebbe stato davvero il caos! 
La matematica ci poteva aiutare a trovare una soluzione più semplice e ordinata.

Ragionando in gruppo e provando a mettere man mano insieme le idee di ciascuno, alla fine ci è venuto in mente che per costruire questo calendario con coppie sempre diverse i numeri dovevano in qualche modo "ruotare"...per cui, come suggerito da Karim, l'unico modo per ruotare era mettersi in cerchio!

Ci siamo disposti in cerchio nell'ordine dei nostri numeri del registro. La maestra Cristina ha preparato 18 bigliettini da farci tenere in mano.




Una volta disposti in cerchio, dovevamo trovare un modo per formare delle coppie. 
Disporsi con il compagno che avevamo di fronte? Beh, ma anche ruotando sarebbe stato sempre lo stesso! 
Quello a fianco, stessa cosa, non sarebbe cambiato mai!

La maestra Cristina allora ha provato a togliere Arianna, la numero 1, dal cerchio e a posizionarla dietro le spalle del numero 2, Ludovico. Ci ha detto: "Se Arianna, in questa disposizione, sta in coppia con Ludovico, gli altri come possono disporsi?".
Marco ha avuto subito un'idea brillante: Alessandra, alla destra di Ludovico, si sarebbe potuta mettere in coppia con Mattia, a sinistra di Ludovico. Dea, ancora più a destra, si sarebbe potuta mettere in coppia con Amira, più a sinistra di Mattia. E andando avanti così, in modo da associarsi secondo delle linee che legavano i bambini a destra e a sinistra di Ludovico (scelto in quel caso al centro) in modo ordinato: il primo a destra con il primo a sinistra, il secondo a destra con il secondo a sinistra...e così via.


Abbiamo provato a disporci in questo modo. 
Per farci capire con chi dovevamo stare, la maestra Cristina ci ha dato dei fogli su cui erano disegnati dei cerchi colorati, a due a due dello stesso colore. Così potevamo subito verificare chi aveva il colore uguale al nostro e quindi chi stava in coppia con noi.


Per il primo appuntamento, tutto bene. E per il secondo? Beh, bastava ruotare nel cerchio! Arianna sarebbe stata lì ferma tutto il tempo, mentre tutti gli altri si sarebbero spostati di un posto più a destra: in questo modo tutte le coppie cambiavano sempre! Questo metodo funzionava!


Per capire se davvero avrebbe funzionato fino alla fine, abbiamo fatto una rotazione completa nel cerchio, controllando di volta in volta se il compagno che aveva il nostro stesso colore era sempre diverso! 
E lo era! Avevamo trovato il modo per costruire in maniera semplice il nostro calendario!!!




Dopo aver provato con il corpo questa disposizione, la maestra ci ha spiegato che la soluzione trovata  mettendo insieme le nostre idee, era in realtà un'idea molto famosa chiamata "Algoritmo di Berger". 
La parola algoritmo significa regola, mentre Berger è il nome dell'inventore di questa soluzione. 

Johann Berger non era un matematico, ma un maestro di scacchi austriaco, molto ingegnoso (per giocare a scacchi ci vuole molta astuzia e intelligenza!), che probabilmente aveva trovato questo sistema per costruire un calendario di incontri tra scacchisti, che, appunto, dovevano incontrarsi a coppie per poter giocare.

Lo stesso algoritmo, viene usato moltissimo ogni anno per costruire i calendari degli incontri delle squadre che giocano nei campionati di serie A di calcio o di serie B, oppure nelle partite di basket o pallavolo... anche lì bisogna fare in modo che le squadre a due a due si incontrino sempre una volta sola per ogni girone e che giochino con tutte le altre squadre della loro categoria! 
Anche nei campionati che giocano i nostri compagni "calciatori" della nostra classe, bisogna seguire un calendario fatto secondo questo sistema!

Una volta capita la strategia, dovevamo finalmente compilare il nostro calendario. 
Per aiutarci a farlo in maniera semplice, la maestra ci ha dato uno schema da ritagliare e fermare con un fermacampione, così che potesse ruotare come noi nel cerchio.




 




Abbiamo compilato lo schema con i numeri da 2 a 18, perchè il numero 1 (cioè Arianna) era rimasto fuori dal cerchio e non ruotava mai.

Abbiamo anche colorato le frecce sul nostro schema girevole con colori diversi, per aiutarci nella lettura. La freccia rossa singola indicava il bambino che doveva stare in coppia con Arianna, la numero uno in attesa fuori dal cerchio.
Poi abbiamo compilato una tabella con le coppie di numeri che si formavano, in modo da stabilire, per ogni appuntamento, quali compagni avrebbero dovuto lavorare insieme.



La maestra Cristina ci ha aiutato, traducendo i numeri in nomi e stampando il calendario vero e proprio che abbiamo costruito insieme. Eccolo qui.

Abbiamo già iniziato a lavorare agli appuntamenti settimanali. 
Per adesso ci stiamo organizzando bene e riusciamo a collaborare e ad aiutarci a vicenda. Speriamo di continuare così fino alla fine dell'anno!"

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