Numeri...fantasma!

Oggi vi parlo di una delle strategie di calcolo mentale e ragionato che i bambini delle mie classi preferiscono per quanto riguarda la sottrazione: la strategia dei...numeri fantasma!

Ve la propongo proprio ora perché anch'io, gli anni passati, la avevo introdotta proprio in questi giorni precedenti ad Halloween (un po' come scusa) e sia la circostanza che la "trovata" aveva particolarmente colpito ed entusiasmato i bambini... Tanto è vero che, dopo due anni di distanza ancora chiamano questa strategia con il nome "strategia del fantasmino", anche se di fatto ora non usano più fantasmi né disegni! 😄

Ho proposto per la prima volta questa strategia in classe seconda, con numeri relativamente bassi, ma poi l'ho potenziata sempre di più in classe terza, utilizzando numeri sempre più grandi.

Il consiglio è quindi di iniziare a  proporre l'uso di questa strategia in una di queste classi.

Come sapete, tutto il lavoro sul calcolo mentale e ragionato che io utilizzo a scuola fa riferimento agli studi di Gianfranco Arrigo di cui vi avevo già parlato. Questa è una delle strategie che anche in questi studi viene proposta per la sottrazione. Io l'ho semplicemente infarcita di un po' di fantasia (ed è servita moltissimo alla motivazione dei bambini!), ma non ho inventato nulla di nuovo! 👻

La strategia utilizzata è quella del "Quanto manca a...", che alla fine è una delle strategie di calcolo mentale che anche noi normalmente usiamo più spesso e più naturalmente nella vita di tutti i giorni, ma che quasi mai viene specificatamente insegnata a scuola.

Pensiamo, ad esempio, a qualsiasi persona che lavori a una cassa. Per dare il resto, quante volte capita di sentire il cassiere "contare" a partire dal prezzo che si sarebbe dovuto pagare in avanti fino all'importo della banconota che gli abbiamo appena dato? 

Ad esempio, se devo pagare 12,50 euro e do al cassiere una banconota da 20 euro, lui per darmi il resto, invece che fare una sottrazione, probabilmente inizierà a darmi una monetina da 50 centesimi dicendo "Tredici", poi una moneta da due euro dicendo "Quindici" e infine una banconota da cinque euro dicendo "Venti"! 

Che cosa ha fatto il cassiere? Si è semplificato di molto la vita! 😉 Ha trasformato quella che di fatto è una sottrazione in un'addizione composta da più addendi che, partendo dal prezzo effettivo da pagare, man mano lo hanno fatto arrivare al risultato, il valore della banconota consegnata.

Se ci pensiamo, questa strategia è molto conveniente e molto semplice da utilizzare. Sfido chiunque di voi a dire di non averla mai usata spontaneamente nella propria vita! Impossibile! Non ci credo!!! 😆😆😆

Ma in effetti a scuola, tradizionalmente, non si insegna a ragionare in questo modo. 

Se pensiamo alla sottrazione a scuola ci viene in mente il mettere in colonna e poco altro. Cosa che, sì, forse ci ha aiutato in diverse situazioni, ma che in altre può rivelarsi decisamente meno pratica e più lunga e articolata (è vero che esistono le calcolatrici...e Dio benedica chi le ha inventate! Ma certe volte, per calcoli "spicci" è forse meglio avere una mente più allenata!).

Ecco perché io (e non solo io in realtà!) ritengo che sia molto molto più utile focalizzare l'attenzione a scuola verso il calcolo mentale e proporre strategie diversificate, che facciano anche uso di materiali diversi, per potenziare questo aspetto decisamente più ragionato, meno meccanico e soprattutto che mostra chiaramente il senso e il significato degli algoritmi.

Fatta questa doverosa premessa, vi racconto questa semplice, ma molto utile attività.

Ho proposto ai bambini un classicissimo esercizio, che però abbiamo sfruttato e utilizzato in modo particolare per sviluppare questa strategia di calcolo mentale.

Ad esempio, ho scritto alla lavagna questa operazione, in cui, al posto di un addendo, veniva disegnato un fantasmino.

Ho spiegato ai bambini che un numero era mancante, o meglio, era mascherato da fantasma!

Per scoprire il "numero-fantasma" dovevamo trovare una strategia. Così ho chiesto a loro di spiegarmi come poter fare.

Apro un'altra piccola parentesi: avete presente il classicissimo caso in cui, ad esempio, i bambini debbano risolvere un problema del tipo: "Paolo aveva cinque mele. Ne ha mangiate tre. Quante mele ha adesso Paolo?" e i bambini per risolverlo scrivano questa operazione: 3 + 2 = 5 ?

Certo, magari la formalizzazione del problema non è corretta e non è "come la volevamo", ma i bambini sanno affermare con sicurezza che "A Paolo sono rimaste due mele".

Trasformano cioè quella che nella nostra mente doveva essere una sottrazione in una molto più semplice e immediata addizione. 

Perché lo fanno? Beh, prima di tutto perché addizione e sottrazione sono due operazioni inverse e quindi intimamente legate. E poi perché viene più spontaneo addizionare e procedere "in avanti" tra i numeri, piuttosto che sottrarre e ragionare "all'indietro". 

Nonostante la formalizzazione sia "scorretta", il significato per loro è chiarissimo. Capiscono perfettamente che la risposta da dare alla situazione problematica è 2, perché hanno trovato quel numero mancante (il "fantasmino") che li ha portati a raggiungere il totale delle mele.

Questo è un esempio evidente del fatto che sia un'abitudine molto "naturale" quella di trasformare le sottrazioni in addizioni per semplificare il ragionamento, pur avendo assolutamente chiaro il significato di ciò che si sta facendo! 👍

Perché vi ho detto questo? Perché infatti la prima idea che è venuta proprio ai bambini non è stata di fare una sottrazione, ma è stata il dire: "Maestra, proviamo ad andare avanti da 23, fino ad arrivare a 31. Quello che contiamo in avanti sarà il numero del fantasmino"! 💡

In effetti abbiamo proprio provato a fare così e lo abbiamo anche rappresentato sotto, attraverso questo schemino.

E di conseguenza abbiamo scoperto il "numero-fantasma"!

In questo caso lo schemino era praticamente superfluo, ma ci è comunque servito per capire il passaggio successivo.

Ecco ad esempio, una nuova situazione.

In questo caso, i bambini mi hanno detto che sarebbe stato troppo lungo contare, uno alla volta, da 15 a 52. 

Però potevamo fare una cosa: potevamo pensare di aggiungere un pezzo alla volta, ad esempio prima 5 per arrivare a 20, poi 30 per arrivare a 50 e infine 2 per arrivare a 52 (vi ricordate l'esempio del cassiere che vi facevo prima?).

Benissimo, con lo schemino abbiamo proceduto proprio in questo modo, illustrando i passaggi.

A questo punto, come capire quanto valeva il fantasmino? Beh, bastava sommare i vari "pezzetti aggiunti" (come le monetine e le banconote del resto che ci vengono date man mano in cassa) e scoprire il valore completo.

In questo caso: 5 + 30 + 2 = 37

Ovviamente, qualche bambino ha obiettato dicendo che aveva trovato una "strada" diversa per arrivare a 52!

Ad esempio qualcuno aveva prima aggiunto 40, arrivando a 55, e poi sottratto 3 per ottenere 52.

Ma, osservando, se poi "metto insieme i pezzi" ottengo comunque: 40 - 3 = 37 !

Insomma, ci possono essere più "strade" per procedere alla scoperta del fantasma, ma tutte (se eseguite correttamente) portano allo stesso risultato! 😉

Con questo tipo di numeri abbiamo lavorato in classe seconda. Ma abbiamo continuato anche in terza, sempre di più, con numeri decisamente maggiori.

Ad esempio, questo.

In questo caso, ci possono essere più strade e strategie che, da 224, mi permettono di arrivare a 751.

Io ho spiegato ai bambini che la strategia sempre più comoda e conveniente, che ci aiuta di più senza farci sbagliare, è quella di usare i NUMERI AMICI, per raggiungere ogni volta una cifra tonda.

Come? Ve lo spiego subito.

Partiamo da 224. Cerchiamo di raggiungere "cifra tonda": l'amico di 4 è 6, quindi aggiungiamo 6 e otteniamo 230. Continuiamo per ottenere ancora cifra tonda anche alle decine. L'amico di 30 è 70, quindi aggiungiamo 70 e otteniamo 300. Perfetto, ora il nostro obiettivo è a portata di mano! Dobbiamo prima di tutto raggiungere il 700, quindi aggiungiamo 400. Poi 750 e quindi aggiungiamo 50 e infine il nostro obiettivo: 751, perciò aggiungiamo 1.

Se sommiamo tutti i pezzetti del nostro schema avremo: 6 + 70 + 400 + 50 + 1.

Facendo una rapida somma (cosa più immediata per i bambini abituati anche per le addizioni al calcolo mentale, anche grazie all'uso costante del "Frantuma-numeri") si ottiene 527.

E' chiaro che poi, prendendo dimestichezza, qualche passaggio si può saltare e la strategia dell'aggiungere un pezzo alla volta può leggermente variare, ma in fin dei conti poi è interessante confrontarsi e scoprire che tutte le strategie corrette portano sempre allo stesso risultato.

Abbiamo lavorato più volte ad esercizi di questo tipo, ricordando sempre il fantasmino.

Nel momento poi in cui ho proposto una sottrazione classica, ho ricordato ai bambini che, per eseguirla, una delle strategie poteva proprio essere quella di ricorrere al "fantasmino", cioè capire "quanto manca a...", esattamente come avevamo fatto nelle esercitazioni precedenti.

Faccio un esempio.

Per risolvere questa sottrazione attraverso la strategia del "Fantasmino", si procede in questo modo. Invece di sottrarre, si parte dal numero minore (il sottraendo) per raggiungere, attraverso una serie di addizioni semplici, il numero maggiore (il minuendo).

Quindi si parte costruendo uno schema fatto in questo modo: a sinistra si scrive (io lo faccio mettere in un riquadro, ma non è essenziale!) il numero minore (sottraendo) e tutto a destra, sulla stessa riga, il punto di arrivo, cioè il numero maggiore (minuendo).

A questo punto, i bambini procedono un passo alla volta scrivendo le frecce, sopra alle frecce la quantità aggiunta ad ogni passo e tra una freccia e l'altra i risultati parziali delle loro operazioni.

In questo caso, usando sempre i numeri amici, si può prima aggiungere 2 per arrivare a 380.

Poi aggiungere 20 per arrivare a 400.

Poi aggiungere 400 per arrivare a 800.

Poi aggiungere 20 per arrivare a 820.

E infine aggiungere 1 per arrivare al numero finale (il minuendo): 821.

Una volta giunti al numero finale, ci basterà sommare tutti i "pezzetti" aggiunti, per scoprire il risultato della nostra sottrazione: 2 + 20 + 400 + 20 + 1 = 443

Sembra un procedimento lungo. All'inizio forse un po' lo è. Ma a forza di utilizzarlo si capisce che prima di tutto semplifica tantissimo il procedimento (perché uso addizioni invece che sottrazioni e quindi la mia mente risulta "più svelta" e più facilitata), inoltre evito la "scocciatura" dei prestiti che dovrei eseguire, ad esempio, con la strategia del calcolo in colonna e poi il sistema diventa man mano più rapido e veloce, allenando via via la mente a fare ciò che faceva il cassiere di cui vi parlavo prima: a risolvere una sottrazione scoprendo "quanto manca" e aggiungendo un pezzo alla volta.

Gli schemini si accorciano via via che i bambini si sentono più capaci. Finché a un certo punto, quasi "magicamente", gli schemini spariscono e i bambini sono in grado di usare la strategia anche solo con la mente (questo avviene da fine terza/quarta in avanti).

Io non forzo mai la mano e lascio che siano loro a decidere quando è il momento di saltare qualche passaggio, di abbandonare lo schemino per passare solo alla scrittura degli addendi da aggiungere man mano dopo il simbolo uguale, oppure di scrivere direttamente solo il risultato corretto. Ciascuno ha i suoi tempi e le sue sicurezze, quindi li lascio liberi di procedere come preferiscono, purché arrivino al risultato corretto dell'operazione.

Come vedete, lavorare al calcolo mentale non significa "non scrivere" o usare solo ed esclusivamente la mente. Ma per potenziare la mente è necessario passare prima da una fase manipolativa o scritta. Altrimenti il ragionamento fatica a costruirsi.

Attraverso questa strategia (come vi dicevo prima, molto "naturale") i bambini possono comprendere il significato dell'eseguire una sottrazione come differenza. Andiamo a scoprire "quanto manca" e quindi a trasformare l'operazione grazie alla sua inversa.

Inoltre la scrittura finale è tutt'altro che banale! Osservate bene.

Significa aver lavorato precedentemente molto e bene sul valore del simbolo uguale (non inteso, come si fa di solito, in senso procedurale), sul suo vero significato di uguaglianza ed equivalenza.

In questo tipo di scrittura, "821 - 378" e "2 + 20 + 400 + 20 + 1" sono due delle tante possibili modalità per esprimere il valore numerico "443". E l'uguale qui, usato addirittura due volte, mostra molto chiaramente che le tre scritture sono equivalenti, purché espresse in modo molto diverso e attraverso operazioni aritmetiche differenti.

L'operazione prende significato, insomma. La mente inizia a vedere e a capire in modo spontaneo che un algoritmo non porta a una procedura, ma mostra un'equivalenza, attraverso il simbolo uguale.

Faccio altri due esempi qui sotto, per mostrarvi come procedere e per farvi capire meglio.

Tra l'altro, notate quanto è più semplice procedere in questo modo (attraverso l'addizione) invece di dover eseguire la sottrazione con il sistema classico attraverso una serie di prestiti?

Questi invece sono casi di una stessa operazione risolta con la strategia del "fantasmino", ma attraverso due diverse "strade", che però portano comunque al risultato corretto.

Nel secondo esempio, in una delle due "strade" viene usata anche la sottrazione, è vero, non solo l'addizione! Ma sicuramente è una sottrazione molto più semplice da eseguire mentalmente rispetto a quella iniziale.

Per risolvere le sottrazioni attraverso il calcolo mentale e ragionato, noi abbiamo usato diverse strategie (non solo questa del "fantasmino"), che man mano vi racconterò nel dettaglio.

I bambini normalmente sono poi liberi di scegliere la strategia che preferiscono, nel momento in cui si trovano di fronte a un'operazione del genere.

Devo dire che comunque la "strategia del fantasmino" è quella che va per la maggiore, quando i bambini devono scegliere autonomamente quale strategia usare.

Forse perché, come vi dicevo all'inizio, è mentalmente più semplice visualizzare una sottrazione come un'addizione a cui manca un addendo (l'addendo "fantasma") e quindi trasformare una sottrazione in un'addizione.

Piano piano, come vi dicevo, questa abitudine scritta diventa sempre più orale e quindi svelta e autonoma, permettendo ai bambini di potenziare davvero le loro abilità di calcolo ragionato.

Spero che questa strategia (e magari anche la modalità con cui è stata presentata nelle mie classi) possa esservi utile per potenziare il calcolo mentale dei vostri bambini. Per noi lo è stata moltissimo ed è un riferimento importante e consolidato per tutti.

A breve vi racconto qualcosa in più sulle strategie che usiamo anche per risolvere le altre operazioni.