Riflessioni geometriche... (2^ parte)

Nel post precedente ho cercato di illustrare quale importantissima valenza in ambito geometrico possa avere l'utilizzo di due semplici specchi incidenti per la scoperta delle simmetrie e dei poligoni regolari.

A questo punto, direte voi, è tutto finito? O gli specchi possono ancora tornarci utili per qualche attività? Io voglio rispondere a queste domande mostrandovi alcune delle moltissime proposte che si possono attuare utilizzando la macchina di specchi in ambito geometrico a scuola.

Quanti riflessi?

Se non sbaglio, durante la fase-guida iniziale eravamo rimasti con un dubbio aperto, a cui non avevamo ancora trovato risposta. Il dubbio era: “Perchè più si rimpicciolisce l'ampiezza dell'angolo di specchi, più i riflessi si moltiplicano? In base a che cosa varia il numero di riflessi?”.

Finora, dopo tutte queste osservazioni, i bambini avranno sicuramente capito che più si restringe l'ampiezza dell'angolo di specchi, più gli oggetti riflessi si moltiplicano. Ma per capire come tutto ciò varia, possiamo decidere di far riflettere i nostri bambini sulle loro osservazioni, magari guidandoli a compilare una semplice tabella (nota: in questo caso è meglio che i bambini abbiano già avuto familiarità con il goniometro e abbiano già provato a misurare diversi tipi di angoli. È preferibile una classe quinta).

In una colonna inseriamo gli angoli di riferimento (quelli che abbiamo utilizzato nella fase iniziale) e nell'altra facciamo loro scrivere il numero di figure che si formano nella macchina di specchi, compresa la figura di partenza. Esempio: quando l'angolo della macchina è di 90°, all'interno di essa si formano 4 figure uguali (3 riflessi + quella di partenza).

Angolo formato dalla macchina di specchi	Numero di figure che si formano nella macchina
90°	4

Facciamo compilare ai bambini la tabella liberamente, mentre osservano la macchina di specchi. Da un confronto finale emergerà questo risultato:

Angolo formato dalla macchina di specchi	Numero di figure che si formano nella macchina
120°	3
90°	4
72°	5
60°	6
45°	8
30°	12

Proviamo ora a far aggiungere alla lista questi due tipi di angoli fondamentali che ancora mancano: l'angolo piatto e l'angolo giro.

Se mettiamo gli specchi ad angolo piatto (180°), quante figure si vedono nella macchina? Mettere gli specchi ad angolo piatto è come creare un'unica superficie riflettente, è come avere un solo specchio: quindi il riflesso negli specchi sarà uno solo e di conseguenza si formeranno 2 figure nella macchina.

Adesso proviamo con l'angolo giro. Per posizionare gli specchi ad angolo giro dobbiamo fare in modo che le due superfici posteriori agli specchi si trovino a coincidere (e quindi le due superfici riflettenti si trovino, per dirla semplicemente, “schiena contro schiena”).

Ora attenzione: posizioniamo la figura, ma non lasciamoci trarre in inganno! Per far funzionare la macchina di specchi, nelle situazioni precedenti, la figura si doveva trovare sempre in corrispondenza del lato comune ai due specchi, quello tramite il quale gli specchi sono legati (il vertice dell'angolo formato dai due specchi), in modo che la figura si potesse riflettere su entrambi. Quindi facciamo lo stesso anche adesso: poniamo la figura in corrispondenza del lato che collega gli specchi o del vertice dell'angolo giro. La figura in questo modo può essere riflessa dai due specchi contemporaneamente? La risposta è chiaramente negativa. La verità è che la figura, in questa posizione, non può essere riflessa da nessuno dei due specchi, per cui si dovrà stabilire che per la macchina di specchi a 360° il numero di figure osservabili è 1. (questo ultimo passaggio è il più complesso per i bambini, fateli ragionare con calma e chiarezza)

Aggiungiamo quindi questi due dati alla tabella:

Angolo formato dalla macchina di specchi	Numero di figure che si formano nella macchina
360°	1
180°	2
120°	3
90°	4
72°	5
60°	6
45°	8
30°	12

Proviamo a chiedere ai bambini di osservarla e di provare a individuare delle regolarità tra i numeri. Se siamo in una classe quinta, ben presto qualcuno si accorgerà che 180 è la metà di 360 e il suo numero di figure corrispondenti, 2, è invece il doppio di 1, quello corrispondente a 360!

Per cui (ci si può arrivare tranquillamente), 360 : 2 = 180 ; 360 : 3 = 120 ; 360 : 4 = 90 ; e così via... Il numero di riflessi corrisponde ad una divisione precisa dell'angolo giro (o una frazione di esso), che è quello più ampio che possiamo formare con la nostra macchina di specchi (troppo scontato far notare il collegamento con il concetto di frazione di un intero, in questo caso di un angolo giro).

Nella tabella, “quando viene diviso il numero a sinistra, si moltiplica il numero a destra”...si tratta di proporzionalità inversa, un concetto che certo non ci azzarderemo a citare con dei bambini di 10-11 anni, ma che potrà servire (anche per mezzo di una definizione “semplice”, trovata e stabilita liberamente da loro) come prerequisito essenziale per il loro lavoro matematico futuro.

Ed ecco svelato il mistero e la “regola” della nostra macchina di specchi!

Una curiosità: se continuassimo la nostra tabella diminuendo sempre di più l'ampiezza dello specchio, come abbiamo giustamente notato, il numero di figure riflesse si moltiplicherebbe sempre di più. Anche non riuscendo più a contare i riflessi (già con 12 era molto difficile!), grazie a questa semplice regola, possiamo riuscire a calcolare quanti riflessi si formano se poniamo gli specchi a formare un angolo di 20°, di 10°, di 5°, di 2° oppure di un solo grado! Attenzione a non perdere la testa! :-)

Gli assi di simmetria...mancanti!

Nel precedente post, avevamo notato che la macchina di specchi ci permette di visualizzare gli assi di simmetria di una figura, proprio perchè gli specchi sono assi di simmetria e riflettono le immagini.

Se però osserviamo bene ciò che abbiamo realizzato finora, ci accorgeremo che “qualcosa non torna”...

Prendiamo due esempi che abbiamo osservato bene in precedenza: i quadrati. Quando posizionavamo lo specchio a 90° e inserivamo il triangolo isoscele rettangolo, negli specchi si formava un quadrato. Osservando le superfici era facile osservare gli assi di simmetria di quel quadrato: si trattava delle sue diagonali.

 

Ma noi sappiamo bene che il quadrato ha assi di simmetria sia nelle sue diagonali, sia nelle sue mediane! E questo lo abbiamo potuto ben osservare con l'altra configurazione: quella in cui, sempre con gli specchi a 90°, abbiamo inserito un quadrato già pronto.

Ora: c'è un modo per poter osservare contemporaneamente tutti gli assi di simmetria esistenti di un quadrato tramite la macchina di specchi?

Se vi ricordate il lavoro precedente, queste due appena elencate non erano le uniche possibilità incontrate di ottenere un quadrato. Ce n'era un'altra, ma che prevedeva il posizionamento degli specchi non più a 90°, ma a 45°. Rivediamola insieme.

In questo caso ad essere inserito nella macchina di specchi è ancora il triangolo isoscele rettangolo, ma in modo diverso: non più dall'angolo retto, ma da uno dei due angoli da 45°. Se osserviamo ora il quadrato formato, possiamo notare con soddisfazione che questa configurazione ci mostra tutti gli assi di simmetria di un quadrato! Quelli che passano dalle diagonali e quelli che passano dalle mediane.

Come abbiamo fatto? In questo caso abbiamo trovato delle figure già pronte, ma basti notare che il triangolo rettangolo rosso è esattamente metà del quadrato giallo. Potevamo più semplicemente tagliare a metà il quadrato lungo la diagonale (che era l'asse che mancava dalla visualizzazione iniziale) e il risultato sarebbe stato lo stesso.

In generale, per poter ottenere poligoni con tutti gli assi di simmetria, ci basterà osservare le proprietà delle figure che di volta in volta inseriremo negli specchi. I triangoli isosceli possiedono già un asse di simmetria intrinseco, che si può immaginare, ma che effettivamente non si vede tramite gli specchi. Per cui il segreto per far “saltare fuori” nella macchina di specchi gli assi di simmetria mancanti è tagliare i triangoli isosceli di partenza a metà, lungo il loro asse di simmetria, dimezzare l'ampiezza dell'angolo degli specchi e reinserire il triangolo isoscele tagliato: tutti gli assi di simmetria appariranno quasi magicamente!

Proviamo ad osservare le diverse fasi per un esagono:

Ecco lo stesso effetto per un triangolo equilatero.

Ora possiamo proporre ai bambini un'attività che di solito si propone con i disegni (più astratti): contiamo quanti assi di simmetria possiedono i poligoni regolari! Qual è la regola che lega poligoni regolari e relativi assi di simmetria?

Se si è già parlato di divisori in matematica, si può far riferimento ai poligoni (regolari e irregolari) e le possibilità relative agli assi di simmetria di ciascun poligono a n lati. Per esempio, questo vale per un qualsiasi poligono a 6 lati, che può avere:

e queste sono le uniche possibilità, legate intrinsecamente ai divisori del numero 6. E così accade per tutti gli altri! Non ci credete? Basta provare...

Libera fantasia e costruzione creativa

Per tornare a livelli più semplici e più ludici, un'attività che si può collegare fin da subito alla prima fase di osservazione guidata è quella che prevede la costruzione di nuove figure e composizioni completamente ideate dai bambini.

Questo tipo di attività per i bambini è sicuramente molto divertente e permette, oltre allo sviluppo di abilità geometriche ed artistiche, il ricorso alla creatività e alla fantasia che emergono dalla libera sperimentazione dei bambini nei piccoli gruppi.

Inizialmente si possono proporre delle varianti ai soliti triangoli, sempre scegliendo di utilizzare gli angoli già predisposti. Un esempio è quello che i bambini chiamano il “boomerang”, un particolare quadrilatero con un angolo concavo, un angolo da 72° e i lati a 2 a due uguali, che ricorda, appunto, la forma di un boomerang.

Tramite il “boomerang” e la macchina degli specchi che forma un angolo di 72° possiamo facilmente creare una stella a 5 punte.

Di “boomerang” se ne possono fare con qualsiasi tipo di angoli, per creare stelle con un numero diverso di punte.

Oppure si possono utilizzare le figure già esistenti per creare immagini nuove e magari, sfruttando anche il colore del tavolo, anche composizioni di figure diverse inscritte in poligoni, per esempio. 

Si può creare, ad esempio, un rombo!

 

Un esagono inscritto in un triangolo equilatero

 

I bambini sono bravissimi nel creare questo tipo di figure e per loro scoprire nuove possibilità è una grandissima soddisfazione! Questi sono solo alcuni esempi di composizioni ideate dai bambini, su cui (se la composizione ha delle caratteristiche di particolare interesse) si può anche fare qualche interessante riflessione matematico-geometrica.

Le composizioni possono anche essere formate da più figure sovrapposte o affiancate e volendo (magari agganciandosi anche al lavoro di Arte e Immagine) si può proporre ai bambini la creazione di nuove figure da ritagliare nella carta colorata a piacimento e da inserire nella macchina di specchi, scegliendo un angolo di preferenza. Il lavoro in gruppo facilita l'attività, migliora la motivazione e permette una cooperazione molto utile anche allo stimolo di creatività e pensiero divergente.

Oltre alle figure piane, si può proseguire la sperimentazione utilizzando figure solide o oggetti di vario tipo, che permettono di sviluppare riflessioni e competenze geometriche anche nell'ambito della geometria a tre dimensioni.

Infine, un lavoro successivo (su cui però mi soffermerò in un altro post) potrebbe riguardare la creazione di una nuova macchina di specchi, ancora più complessa e ricca di spunti utilissimi per il lavoro geometrico: il caleidoscopio.

Il caleidoscopio non è altro che una macchina formata non da due, ma da tre specchi legati tra loro che, a seconda della loro forma, creano angoli e riflessi differenti...e anche magnifiche composizioni “infinite”...

Ci sono molti altri agganci che si possono fare all'attività e tante altre valenze che possiede la macchina formata dai due specchi incidenti. Per ora mi fermerò qui e magari approfondirò il resto più avanti, sperando intanto di avervi incuriosito e fatto scoprire questo incredibile e semplicissimo strumento che può aiutare non poco a fare geometria a scuola in modo divertente e permettendoci di svelare tutti i suoi più curiosi “misteri”! :-)