Riflessioni geometriche...

Con questo post intendo raccontare un'esperienza realizzata più volte durante gli anni scolastici precedenti, presso diverse classi terze, quarte e quinte della scuola primaria, grazie alla quale, tramite l'utilizzo di strumenti “inusuali” per l'ambito geometrico, i bambini possono giungere alla scoperta dei poligoni (regolari e non) e di alcune loro proprietà relative alla simmetria, alla loro struttura, all'area e alla classificazione delle figure piane.

Il lavoro ha preso spunto (molto liberamente) da quanto osservato in una mostra visitata anni fa dal titolo “Simmetria e giochi di specchi”, consultabile online o visitabile a tutt'oggi su richiesta (anche con le classi) presso il Dipartimento di Matematica dell'Università Statale di Milano, in Via Saldini (vi consiglio di andarci perchè è spettacolare!).

Cosa serve per realizzare questo lavoro:

• due specchi (io ne ho utilizzati di varie forme e dimensioni, ma per cominciare possono andare benissimo due piccoli specchietti di dimensione 15x15, possibilmente senza bordo)
• scotch
• fogli di carta bianca e colorata
• un goniometro e un righello
• matita e gomma

La cosa fondamentale per poter svolgere questa attività è realizzare due specchi incidenti, cioè due specchi che siano legati tra loro per mezzo di uno spigolo e che quindi posano formare un angolo. Per fare questo basta attaccare tra loro i due specchi con lo scotch, in modo che le due superfici riflettenti abbiano un lato in comune.

Nota tecnica: gli specchi si devono aprire e chiudere con agio, quindi sarebbe meglio attaccare lo scotch sul loro dorso (per non rovinare la visione del riflesso) in modo però da lasciare un piccolo spazio tra i due bordi. Se non si lascia tale spazio gli specchi rimarranno fermi e sarà difficile farli ruotare per realizzare tutti i tipi di angoli, da 0° a 360°.

Realizzare gli specchi incidenti è cosa da poco, ma presto scoprirete quali incredibili potenzialità hanno questi strumenti nell'insegnamento della geometria e delle proprietà delle figure piane (e anche solide, volendo!).

La prima cosa che si nota prendendo in mano gli specchi incidenti è che questi formano degli angoli: acuti, retti, ottusi, piatti, nulli, giri, di ogni tipo. Si può quindi introdurre questo tipo di attività già dalla classe terza, dopo una prima familiarizzazione con il concetto di angolo, per poi strutturare in fasi successive osservazioni guidate e sperimentazioni che richiedono abilità sempre più alte, anche durante le classi successive. Io vi racconterò diverse fasi in cui si può articolare il lavoro, da alcune più semplici, ad altre più complesse. Starà a voi poi, a seconda delle vostre scelte didattiche, degli argomenti che secondo voi si legano meglio all'attività e della preparazione raggiunta dai vostri bambini, scegliere quale “taglio” dare a queste esperienze e quali fasi proporre nel vostro lavoro didattico (sempre che ne abbiate il desiderio! :-D).

Io ho scelto di far lavorare i miei bambini a piccoli gruppi, preparando un “kit” con tutto il materiale per ciascun gruppo (di solito di tratta di 5-6 “kit”, ma ciò è variabile a seconda del numero di bambini che si hanno per classe). Ogni “kit” ovviamente comprendeva anche una coppia di specchi, per cui sappiatevi regolare quando intendete rifornirvene per il vostro lavoro.

Attenzione: lavorare con degli specchi può essere pericoloso! Il materiale è piuttosto fragile e va richiesta una particolare cura ed attenzione da parte dei bambini che dovranno maneggiare liberamente gli specchi. Il consiglio, oltre ad effettuare le dovute raccomandazioni, è quello di creare delle “isole” formate da più banchi vicini tra loro, in modo che i bambini possano sfruttare il grande spazio di appoggio e abbiano minore probabilità di avvicinarsi troppo ai bordi dei banchi (con il rischio di far cadere a terra gli specchi e romperli......ah, a proposito: lasciate perdere il discorso dei 7 anni di sfortuna perchè è pura idiozia! Io sono l'antiscaramantica per eccellenza, soprattutto con i bambini! :-P ).

Nel caso si ritenesse che gli specchi tradizionali fossero troppo pericolosi, si può comunque realizzare l'esperienza in modo molto simile con due pezzi di plexiglass o di legno sui quali incollare della carta adesiva riflettente, in commercio in qualsiasi cartoleria o ferramenta. Esistono anche dei pannelli riflettenti già pronti in plastica per i bagni o le cucine che costano davvero poco e che si possono tagliare a misura a seconda delle esigenze. Ecco degli ingegnosi specchi infrangibili!

Partiamo facendo sperimentare ai bambini le potenzialità “innate” degli specchi incidenti: invitiamoli ad aprirli come desiderano e a modificare l'ampiezza dell'angolo che formano, oppure a porre al loro interno dei piccoli oggetti per osservare che cosa succede. L'impatto con gli specchi incidenti ha un che di “magico”: gli oggetti che vengono riflessi vengono immediatamente moltiplicati, si creano subito forme e composizioni incredibili e mutanti...e tutto ciò sui bambini (ma non solo...basti anche solo pensare alla famosa “camera degli specchi” del luna park!) produce un fascino incredibile!

Dopo una prima fase di gioco e di raccolta di idee e di considerazioni a caldo (non lasciatevi scappare tutte le prime impressioni e domande dei bambini, che, vedrete, saranno già interessantissime e sulle quali ci si potrà lavorare a lungo anche successivamente...rimarrete stupiti da tutto ciò che banalmente di primo acchito emergerà!), l'idea che giunge lampante da ogni gruppo è quella che all'interno degli specchi incidenti (o della “Macchina degli specchi”, come a loro piace chiamarla!) gli oggetti si moltiplicano.

1 euro si trasforma in 8 euro...attenzione alle illusioni ottiche! :-D

Perciò io di solito parto da una proposta che mi permetterà di avviare il lavoro successivo, utilizzando le simmetrie.

Il prerequisito a questo lavoro è che i bambini abbiano già parlato di simmetria e l'abbiano già sperimentata in modi differenti (disegni, macchie di colore su fogli piegati a metà, simmetria in oggetti, animali, nel proprio corpo, in movimenti, …) e soprattutto abbiano già avuto esperienza di questa proprietà geometrica tramite l'uso almeno di uno specchio. Lo specchio è un elemento riflettente, è la riflessione per natura! Per questo l'utilizzo di questo strumento per affrontare l'argomento diventa fondamentale per l'acquisizione del concetto stesso di riflessione di una figura o di un oggetto e di asse di simmetria. Un'esperienza importante, a questo livello, è non solo provare a riflettere la propria immagine nello specchio ed osservare che cosa succede, ma anche utilizzare uno specchio (magari piccolo e maneggevole) come asse di simmetria per verificare che determinate figure o oggetti siano simmetrici oppure per disegnare figure a metà e completarle tramite l'utilizzo dello specchio, come per magia!

Tutto ciò, come ho detto, dovrebbe essere esperienza già assodata per i bambini e consolidata fin dalle classi prima e seconda, per permettere loro di arrivare all'attività che ora illustrerò con le giuste competenze.

La prima attività che propongo ai diversi gruppi è quella di prendere un foglio (io di solito uso i foglietti bianchi quadrati che servono per appuntarsi le cose da ricordare, perchè possono entrare facilmente nella macchina degli specchi) e provare a disegnare una figura solo in parte, utilizzando soltanto l'angolo del foglio. Prima di tutto io porto loro degli esempi già pronti (già forniti nel “kit”), come un fiore, una stella, una nuvola, ecc... disegnati solo per un quarto. Ponendo gli specchi incidenti in corrispondenza dei lati del foglietto, succederà una cosa spettacolare: queste figure parziali o incomplete si vedranno intere! (e questo è già un prerequisito fondamentale o un aggancio molto concerto al concetto di frazione!).

Nella fase iniziale dell'attività i bambini scopriranno solamente come quarti di figure già pronte si possono trasformare in figure intere tramite gli specchi; in seguito (ma non ci sarà da insistere troppo, perchè la voglia sorgerà molto spontanea da ciascun gruppo) ai bambini viene chiesto di provare a realizzare insieme dei quarti di figura simili. Non pretendete che subito le figure siano “sensate” o abbiano un aspetto familiare: lasciate i bambini liberi di fare le loro sperimentazioni, senza guida (purchè seguano l'indicazione di usare l'angolo del foglietto). Inizialmente molti (forse spinti dal lavoro che ho illustrato in precedenza) proveranno a disegnare figure con un solo asse di simmetria, quindi solo metà (per esempio una casetta), ma da soli si renderanno conto, appena inseriranno il foglio nella macchina, che figure di questo tipo non funzionano (diventa una casetta “doppia” con il pavimento in comune! Oppure diventa una figura nuova, che nulla ha a che vedere con una casetta!).

Oppure altri proveranno a realizzare segni liberi che non fanno parte di alcuna figura, solo per sperimentare l'effetto che ciò avrà sulla macchina.

Ogni risultato, di qualunque tipo, darà per loro un effetto spettacolare! Poi ci sarà anche chi fin da subito o dopo alcuni tentativi avrà capito come realizzare figure o disegni riconoscibili tramite la macchina e voi stessi rimarrete stupiti dalle idee trovate dai bambini!

La differenza con l'attività suggerita in precedenza (quella in cui si doveva disegnare solo metà figura e completarla con un solo specchio) sta nella maggiore difficoltà di realizzazione e di scelta di figure, perchè in questo modo si passa da un lavoro che presuppone la conoscenza e la realizzazione di figure con un solo asse di simmetria ad un altro che spinge i bambini a confrontarsi con figure con ben due assi di simmetria, cosa non affatto banale. Tutto ciò, comunque, si svolge in un setting ludico e piuttosto divertente, dove anche lo scambio e il confronto tra i membri di ogni gruppo diventa costruttivo e di stimolo per realizzare prodotti sempre nuovi ed interessanti.

Inoltre, in questa attività gli specchi, seguendo il profilo del foglio, formeranno un angolo retto o di 90°. A questo livello, se si vuole proporre l'esperienza in una classe non troppo alta, non serve nemmeno soffermarsi sul concetto di misura o classificazione dell'angolo, poiché l'angolo retto è quello a noi più familiare e che naturalmente va a coincidere con il profilo dei nostri tradizionali fogli di carta bianca, per cui non c'è bisogno di particolari spiegazioni.

Se invece si desidera utilizzare anche questo spunto per approfondire il proprio lavoro, è bene far notare ai bambini che gli specchi formano angoli diversi e provare a far formare a loro angoli retti, piatti, acuti, ottusi, ecc... tramite questo strumento ingegnoso (di solito gli angoli si disegnano e basta...e ciò perde del tutto il significato di angolo, che non è affatto soltanto un disegno astratto su un foglio: siamo circondati da angoli, noi stessi siamo angoli viventi, basti pensare ai nostri arti e a tutte le articolazioni del nostro corpo! ...ma sul discorso “angoli” ritornerò sicuramente più avanti con un altro post...).

Dopo aver fatto provare ai bambini la formazione di diversi angoli tramite gli specchi, io scelgo di fornire loro (sempre nel famoso “kit”) degli strumenti che serviranno per il lavoro successivo e che li aiuteranno non poco a scoprire fenomeni geometrici che inizialmente avranno un impatto quasi incredibile. Tutto il materiale si realizza in pochissimo tempo, quindi non preoccupatevi! Ricordatevi che i “kit” da preparare sono al massimo sei (dipende dal numero dei vostri alunni) e se proprio avete tempi strettissimi, vi basterà preparare un solo “kit” e passare il tutto in un buon fotocopiatore! :-)

Allora, prima di tutto io, utilizzando goniometro, righello e matita, preparo su dei fogli A4 bianchi dei semplici angoli disegnati, che serviranno da “segni” o “tracce” sui quali posizionare gli specchi incidenti nella fase successiva.

Io solitamente preparo i fogli con angoli da: 90°, 60° , 45°, 30°, 72°, 120°, ma voi siete liberi di scegliere anche altre combinazioni di angoli, a seconda delle scoperte che sceglierete di far fare ai vostri bambini.

Dopo aver disegnato ogni angolo (ben grande, in modo che gli specchi si possano posizionare tranquillamente e che le linee degli angoli siano più lunghe dei lati degli specchi) e averlo colorato di un colore diverso (è solo un “vezzo”, ma con i bambini funziona molto bene sia per aiutarli nel riconoscimento, sia per la memorizzazione, anche se in questo caso non è fine all'apprendimento, ma solo a scopi pratici di velocizzazione del lavoro!), io aggiungo anche il valore dell'angolo in gradi, in modo che i bambini possano familiarizzare meglio con il tipo di angolo. Lo scopo, a questo punto, non è quello di “far studiare” ai bambini i diversi tipi di angoli, ma è solamente quello di portarli ad un'osservazione degli stessi, al rendersi conto che più è alto il valore dell'angolo, più l'angolo è ampio e soprattutto (come vedrete tra poco) al mostrare come certi tipi di angolo possano formare determinate figure specifiche. In questo caso l'unico prerequisito importante è forse che i bambini sappiano che gli angoli possono avere un “nome” diverso dal solito “retto, ottuso, acuto, ...”, ma anche relativo alla loro misura precisa, che si effettua tramite uno strumento chiamato goniometro (non è, però, indispensabile che abbiano già fatto uso del goniometro prima di allora!).

A questo punto c'è ancora una cosa da preparare, prima di calare i nostri bambini all'opera. Si tratta di realizzare con la carta colorata (o con la carta bianca, da colorare, però!) alcune figure geometriche studiate “ad hoc”, per guidare il lavoro di osservazione dei bambini. Ecco le figure che io di solito preparo (sempre con l'ausilio di matita, righello e goniometro...e sempre facilmente fotocopiabili!) per il mio lavoro: un rettangolo, un quadrato, un triangolo equilatero, un triangolo isoscele rettangolo (quindi con angolo di 90°), un triangolo isoscele con un angolo di 45°, un triangolo isoscele con un angolo da 30°, un triangolo isoscele con un angolo da 72° e un triangolo isoscele con un angolo da 120° (anche qui siete liberi di aggiungerne anche a profusione!).

Realizzo queste figure piuttosto piccole, in modo che si possano “incastrare” negli specchi avendo a disposizione ancora un po' di spazio. Infine le coloro, perchè colorate permettono un'osservazione più accurata (e più interessante) di ciò che succede.

Se avete notato, ogni angolo (preparato prima) ha una sua corrispondente figura (o anche più di una!) che possiede almeno un angolo uguale. Per esempio, abbiamo l'angolo da 30° e il triangolo isoscele con un angolo da 30°; abbiamo l'angolo da 90° e il quadrato, il rettangolo o il triangolo rettangolo. Possiamo decidere di colorare la figura dello stesso colore del profilo del “suo” angolo... basta fare attenzione a non legare troppo angoli e colori, perchè alcune figure potranno essere utilizzate per più di una posizione degli specchi incidenti e potranno quindi creare confusione!

Ed eccoci finalmente al lavoro con i bambini. Strutturiamo una prima fase guidata, in cui l'insegnante suggerisce ad ogni gruppo di posizionare gli specchi in un certo modo e di inserire al loro interno specifiche figure. È necessaria una fase guidata, per permettere ai bambini di fare osservazioni, che non vanno suggerite, ma devono svolgere spontaneamente. Proprio per questo, fate in modo che la vostra guida non sia troppo rigida e direttiva, ma che lasci, tra un suggerimento e l'altro, il tempo per effettuare delle osservazioni esplicite e di fare alcuni tentativi inerenti alla proposta.

Alcuni consigli: chiedete ai bambini di appuntarsi le osservazioni che emergono nel gruppo sia durante la fase di “guida” che successivamente; per evitare la troppa confusione (un po' ce ne sarà, per forza!) fornite ai vari gruppi un foglio-angolo e una figurina per volta, in modo da non distrarre i bambini a causa del troppo materiale a disposizione; non pretendete il silenzio! Questa è un'attività di scoperta e la scoperta provoca emozione...e chi di voi ha mai manifestato un'emozione in modo silenzioso? Assenza di silenzio non significa, in ogni caso, confusione: responsabilizzate i bambini in modo che autocontrollino le loro voci all'interno di ciascun gruppo.

La fase di guida parte in questo modo: si chiede ai bambini di posizionare gli specchi sul foglio-angolo dei 90° (inizialmente vanno aiutati a capire come devono essere posti i due specchi).

Chiedete di inserire tra gli specchi queste tre figure: il rettangolo, il quadrato e il triangolo isoscele retto (lasciate perdere i nomi per adesso, servono solo a voi che siete grandi! Per farsi capire con i bambini, il “triangolo rosso” andrà benissimo!!!). Chiedete di inserirli in modo che si incastrino bene tra gli specchi ed invitateli a fare le loro osservazioni in piccolo gruppo, soprattutto sulle diverse “trasformazioni” a cui stanno assistendo: se inserisco un rettangolo nella macchina degli specchi che cosa appare? E se inserisco un quadrato? E se inserisco il triangolo rosso?

Nella fase-guida chiedete di inserire una figura per volta e rassicurateli che alla fine dell'attività ci sarà un momento in cui potranno sperimentare liberamente con le figure.

Se appare quasi banale che quadrati e rettangoli formino figure simili, allora è quasi incredibile che un triangolo formi nella macchina un quadrato. Perchè accade tutto ciò?

Se inserisco una figura all'interno degli specchi a 90°, quante volte questa figura viene riflessa (compresa la figura di partenza)? Provate anche a far inserire nella macchina posta in questo modo un piccolo oggetto, come una gomma o un temperino, per osservare meglio quello che succede.

Dopo aver lasciato qualche attimo liberi i bambini di osservare e di porre anche le loro domande (non date mai risposte, ma rimbalzatele per permettere loro di trovare da soli soluzioni che poi rimarranno più impresse nella loro memoria!), chiedete di cambiare foglio e di prendere quello con l'angolo da 60° e posizionare correttamente gli specchi. A questo punto chiedete di inserire nella macchina il triangolo equilatero (il mio è arancione!). Questa volta non faranno fatica a trovare il verso con cui incastrare il triangolo, dato che tutti i suoi 3 angoli sono da 60°...ma lasciate che scoprano anche questa cosa da soli!

Che figura geometrica si forma? Quante volte viene riflessa la figura?

Se i bambini non hanno mai fatto esperienza di figure geometriche superiori ai quadrilateri, potrebbe essere questo il momento di invitarli a trovare i nomi delle figure che osservano: si può chiedere quanti lati possiedono e in base a questo aiutarli a trovare il nome specifico di ogni figura. Di solito c'è sempre qualcuno che i nomi li conosce già, altrimenti si possono tranquillamente suggerire, anche facendo riferimento alla derivazione della terminologia (“esagono” → “esa” → dal greco “sei”).

Dopo i 60°, passiamo ai 45° ed inseriamo il triangolo corrispondente (isoscele con un angolo da 45° appunto...il mio è verde!). Cosa succede? Che figura si forma? Quante volte viene riflessa?

Ma attenzione...stavolta possiamo incastrare giusta giusta tra gli specchi un'altra figura che abbiamo già utilizzato in precedenza! Quale? Lasciamo liberi i bambini di trovarla da soli...

La figura è il triangolo rosso (isoscele rettangolo, che ha due angoli da 45°). Che cosa si forma inserendo quella figura? Quante volte viene riflessa? Che differenza c'è tra il quadrato che formava prima e il quadrato che forma ora? Proviamo a confrontarli!

Si continua...prendiamo l'angolo da 30°, posizioniamo gli specchi e inseriamo il triangolo corrispondente (il mio è azzurro). Cosa appare? Quante volte la figura viene riflessa?

A questo punto è difficile riuscire a contare i riflessi...sono tantissimi! Perchè più si rimpicciolisce l'ampiezza dell'angolo di specchi, più i riflessi si moltiplicano? (questa domanda è un po' il fulcro del lavoro e forse i bambini arriveranno a rispondervi solo in una fase finale).

Ora prendiamo l'angolo da 72° ed inseriamo negli specchi posizionati il triangolo corrispondente (il mio è rosa). Che figura si forma? Quanti riflessi appaiono?

Infine, prendiamo il nostro ultimo angolo, quello da 120° ed inseriamo l'ultimo triangolo ottusangolo rimasto (viola). Che figura si forma? Quanti riflessi?

Qui termina la fase di guida. A questo punto potete scegliere di far procedere il lavoro come preferite. Ci sono molte strade, che si possono percorrere a seconda del livello dei bambini che abbiamo di fronte o a seconda di ciò che ci interessa sfruttare con questo strumento.

La cosa fondamentale che si riesce a visualizzare perfettamente con questo lavoro è la costruzione dei poligoni regolari attraverso triangoli.

Di solito noi presentiamo i diversi poligoni tramite un disegno e una costruzione delle figure non sempre semplice tramite l'uso di goniometro, riga e compasso. Bene, questa attività è tutt'altro che complessa: è di una semplicità e di una chiarezza estrema! Può quindi servire da prerequisito, per la conoscenza e la prima familiarizzazione con i poligoni geometrici, a partire dalla loro costruzione, ma non attraverso il disegno, bensì attraverso la composizione e scomposizione delle loro parti geometriche che li costituiscono.

Ecco un punto fondamentale sul quale voglio ora portare solo voi adulti a riflettere. Ogni poligono regolare può essere sviluppato in una serie di triangoli isosceli e a questo facciamo riferimento, per esempio, quando calcoliamo la sua area: per trovare l'area di un poligono regolare, non si applica la formula “(perimetro x apotema) : 2”? Proviamo a riflettere sul suo significato. Osservando con attenzione la costruzione di un poligono tramite l'intuitivo utilizzo della macchina di specchi, scopriamo che l'apotema non è altro che l'altezza di un triangolo isoscele.

Calcolare l'area del triangolo è semplice: “(base x altezza) : 2”. Però in questo caso di triangoli isosceli ce ne sono diversi. Per esempio nell'esagono bisognerebbe fare: “(base x altezza) : 2” di ogni triangolo e poi moltiplicare il risultato per 6. Ed è esattamente la stessa cosa del “(perimetro x apotema) : 2”, perchè il perimetro è la somma delle basi, che vanno moltiplicate all'apotema, cioè all'altezza, ed infine il risultato va diviso per 2 (perchè, come accade per l'area di un solo triangolo, altrimenti si tratterebbe di un enorme parallelogramma, di area doppia)!

Questo non significa che questa attività serva per introdurre i bambini al concetto di area di un poligono regolare! Affatto! Però intendo farvi notare quanto sia importante mostrare a un livello base questo tipo di costruzione ai bambini (molto più pratica, immediata e intuitiva di quanto possa essere un disegno astratto, di solito utilizzato nella spiegazione della formula), per permettere loro di focalizzare meglio come è costruito un poligono, in modo da avere più chiari in futuro sia le caratteristiche, sia gli sviluppi di ogni figura geometrica, per le sue successive applicazioni (è un prerequisito importantissimo che dal disegno si fa molta più fatica ad intuire!).

Tutto questo viene realizzato tramite l'uso e la visualizzazione degli assi di simmetria dei poligoni. Anche questo è uno spunto che, osservato in un modo estremamente intuitivo, può servire ed essere già chiaro per gli approfondimenti futuri. Gli specchi incidenti, infatti, moltiplicano le figure che vengono poste al loro interno a seconda dell'angolo che formano. Perciò tutte queste nuove figure che si compongono nella macchina degli specchi (dai poligoni regolari ai disegni inventati completamente dai bambini) possiedono già intrinsecamente un qualunque tipo di simmetria.

Una figura simmetrica solitamente dalla mente umana viene legata al concetto di armonia e bellezza: se pensiamo ai numerosissimi esempi di figure simmetriche utilizzate nell'arte e nell'architettura, scopriremo di essere immersi da immagini replicabili facilmente con la nostra macchina di specchi (ma anche di questo ne parleremo prossimamente...)!

Per tornare al lavoro, dopo una fase di guida e di riflessione per gruppo, dovrebbe seguire un momento di verbalizzazione e confronto sulle scoperte effettuate dai bambini (e magari anche una sintesi più o meno scritta per ricordare i passaggi essenziali). In seguito andrebbero lasciati liberi i bambini di svolgere le personali sperimentazioni al fine di permettere loro di sfruttare la macchina degli specchi in tutte le sue funzionalità possibili.

Le valenze di questo semplicissimo strumento non sono finite qui, come non finisce qui il percorso che può essere svolto grazie ad esso. Di strade percorribili, a questo punto, ce ne sono moltissime e ciascuno può decidere di seguire quella che preferisce, a seconda della preparazione dei bambini, di quello che vorrebbe introdurre con loro o di ciò che di più curioso emerge dalle riflessioni fatte in gruppo.

Nel prossimo post vi proporrò alcune attività correlate, che si possono svolgere dopo questa prima fase di scoperta della macchina di specchi.