Frazioni...a merenda!

Quest'anno lavoro in una terza, classe complessa per la mole di "contenuti matematici" da affrontare e, allo stesso tempo, annata chiave per la crescita dei bambini e per lo sviluppo di competenze sempre più complesse e articolate.

In particolare, in terza di solito vengono presentati, con un'infarinatura generale, concetti matematici diversificati che poi andranno sviluppati a dovere nelle classi successive: algoritmi sempre più complessi, frazioni, numeri decimali, unità di misura, problemi a più incognite e così via.

E' vero che ciascuno di questi concetti viene affrontato in maniera semplice e potrà essere poi ripreso, approfondito e sviluppato nelle classi successive.

Ma la peculiarità della terza è proprio quella di essere la classe in cui è necessario creare basi estremamente solide, sulle quali potranno poi poggiarsi le fondamenta giuste per tutto il lavoro matematico successivo. 

Lavorare ancora con agganci al concreto, come nelle classi precedenti, ma lanciandosi sempre di più con il pensiero verso l'astratto, come nelle classi successive. Partire da esperienze semplici, quotidiane e chiare, per poi costruire ragionamenti e ipotesi sempre più complessi e generalizzati.

E' una classe delicata, la terza. Ma al tempo stesso estremamente entusiasmante per bambini ed insegnanti.

I bambini sentono di essere cresciuti e cambiati e di poter finalmente spaziare nel mondo matematico dei "grandi": frazioni, numeri con la virgola, risolvere operazioni complesse con numeri alti, sono alcuni assaggi di ciò che nelle classi successive verrà affrontato (e, soprattutto chi ha fratelli più grandi, si rende conto che i concetti che ha sempre visto con interesse "da lontano" si stanno finalmente avvicinando!).

Gli insegnanti, dal canto loro, sentono una maggiore libertà nel fornire nuove proposte, nello spingersi sempre più in là con ragionamenti ed esperienze e nel proporre attività sempre meno standardizzate e guidate passo passo, ma sempre più individualizzate, creative e volte all'autonomia.

O, almeno, io sono un'insegnante estremamente entusiasta della classe terza! :-D

Per tornare a noi, la settimana scorsa ho deciso di introdurre l'argomento delle frazioni. Era ormai ora: i bambini avevano ben interiorizzato il concetto di divisione e fremevano tutte le volte che pronunciavo: "Sì, ma questa cosa vale solo per i numeri naturali, che finora abbiamo conosciuto! Quando incontreremo altri tipi di numeri, le cose saranno leggermente diverse!". Questi "numeri non naturali" (:-D) che loro avevano già ben individuato, ma che rimanevano sempre lì, nel mondo delle idee, senza mai farsi avanti, avevano creato in loro grandi speranze e aspettative...che non era il caso di far attendere ancora a lungo!

Perciò, sono arrivata a scuola con l'idea di una strana sorpresa e la voglia di lasciare il segno in maniera indelebile con una bella esperienza.

Come una mattina uguale alle altre, ci siamo messi a lavorare per problemi. Non i problemi da libro stampato, quelli non ci piacciono particolarmente, perché a volte sono un po' fuori luogo e riportano esperienze sulle quali ci facciamo spesso quattro risate (un esempio è quello del fioraio).

Lavoravamo su problemi che a loro piace chiamare "vitali", cioè reali, veri, fatti che possono veramente succedere a noi o alle altre persone e che quindi non sono né esagerati, né stereotipati in malo modo.

Tra un problema "vitale" e l'altro, eccone uno che ho definito già nel titolo "Speciale...".

I bambini sono abituati alle mie incursioni con materiali e proposte varie, il sacchetto di caramelle o biscotti che ci dobbiamo dividere, le assenze di qualche compagno da andare a controllare sul registro, le figurine appena comprate da uno di loro da mettere sull'album e contare e cose di questo tipo.

Ma stavolta la mia incursione avrebbe avuto un impatto più forte, perché il materiale da me procurato era davvero curioso.

come se nulla fosse, abbiamo iniziato a scrivere il problema:

"Per la merenda di oggi, la maestra Cristina ha portato..."

...uscita un attimo dalla classe, mi sono presentata con questa grande scatola che ho appoggiato sulla cattedra, tra gli occhi sbalorditi e le esclamazioni di stupore di tutti!

"Una focaccia!!!" "Che buonaaa!" "Uao!!!" "Ma la possiamo anche mangiare???" :-D

Ma continuiamo il problema!!! Dicevamo: "...la maestra Cristina ha portato una grande focaccia!!! Ogni bambino ne vuole una fetta, ma le parti devono essere tutte uguali! Come possiamo fare?"

I bambini hanno iniziato a dire che, evidentemente, andava tagliata. Nella pratica è un concetto molto ovvio, ma...in matematica? Con quale operazione si poteva tradurre questo "tagliare la focaccia"?

Immediatamente la risposta è stata: con una divisione! Infatti la focaccia va divisa per tutti i bambini.

Allora ho proposto di scrivere la corretta operazione sotto al disegno (spontaneo) della focaccia sul quaderno.

La focaccia è una e noi siamo in 16, quindi...

1 : 16 = ???

E' evidente che c'è un enorme problema! Questa divisione non è come le altre!

Di solito noi svolgiamo divisioni in cui il dividendo è maggiore del divisore...per cui, questo caso è l'opposto e...non sappiamo risolvere questa divisione!!!

Qualche bambino ha ipotizzato pessimisticamente: "E' impossibile!!!".

Ho allora aggiunto: "Quindi è impossibile dividere la focaccia in parti uguali e mangiarla?". Beh, certo che no!

L'operazione, così come la situazione, è perfettamente risolvibile anche dal punto di vista matematico. Solo che...in questo caso non possiamo più lavorare con i numeri naturali!!! Ci servono altri numeri, che corrono in nostro aiuto in situazioni come questa.

Questa divisione non si può risolvere, con i numeri naturali.

Ma si può risolvere! E questo è un dato certo!

Ho quindi spiegato ai bambini che in questo caso, quello che si doveva fare con la focaccia non era tanto dividere, ma FRAZIONARE.

Parola nuova, che si riferisce a un particolare tipo di divisione.

Frazionare significa suddividere in parti uguali un oggetto INTERO (come la focaccia che è una ed è tutta intera) in tante parti UGUALI TRA LORO (altrimenti ci mettiamo a litigare e non è giusto!) e prendere solo una parte (o alcune parti, nel caso si facessero fette più piccoline).

A quel punto, dopo tanto parlare, siamo corsi tutti a lavare bene le mani, per poterci mettere all'opera e frazionare la nostra focaccia!

Problema nel problema: come fare a tagliare delle fette tutte uguali tra loro?
Beh, è necessario avere un coltello e una riga abbastanza grande, per sapere dove tagliare, partendo dai bordi.

Benissimo, ma......le fette? Come potremo tagliarle??? In che modo? Con che forma?

E qui, l'esperienza della torta della nonna ha permesso di accendere qualche importante lampadina (ottimo investimento di tempo e di forze)!

Piccola parentesi pratica per insegnanti.
Frazionare una focaccia in parti uguali non è un compito estremamente semplice, in realtà. Le fette "alla carlona" siamo capaci tutti a farle, ma la matematica è precisione e questo compito rischiava di trasformarsi in un enorme fiasco...

Ma la scelta della focaccia non è stata affatto banale e affrettata!

Ho 16 alunni in classe. 16 è un numero particolare ed estremamente comodo ed elegante dal punto di vista matematico.
Frazionare in 16 parti un rettangolo è un gioco da ragazzi e tra pochissimo infatti vi dirò come lo hanno affrontato i miei di ragazzi.

Possiamo tagliare facilmente in parti alcuni alimenti o oggetti. Ma non tutti si riescono a frazionare in maniera matematica. Finché è metà o un quarto i problemi sono minimi. Ma quando si tratta di fare molte più fette, allora diventa più complicato.

Siamo abituati a pensare alle frazioni grazie alle torte. Le torte sono solitamente tonde e...sono anche estremamente scomode da frazionare!!! Tutti gli oggetti tondi, tanto osannati dai metodi "vecchio stampo", sono difficilissimi da suddividere in parti uguali. Bisognerebbe utilizzare il goniometro per fare delle parti precise! E in classe terza il goniometro è uno strumento che i bambini non hanno mai visto né utilizzato!

Ottime, per un lavoro di frazionamento, sono invece le tavolette di cioccolato, non solo perché sono rettangolari, ma anche perché già suddivise in rettangolini ed estremamente comode da fare a pezzi (tutti uguali).

Peccato che in classe mia ci sia una bambina intollerante al cioccolato...che mi ha fatto scartare a priori questa utilissima proposta!
Per classi dai numeri "complicati", l'utilizzo di barrette di cioccolato è un'ottima idea. Magari si può pensare di "arrotondare" il numero degli alunni aggiungendo una o più insegnanti, la bidella, ecc... Ma con le barrette di cioccolato l'esperienza è facilmente ripetibile senza grosse difficoltà, qualunque sia il numero di alunni in classe.

In ogni caso, gli oggetti rettangolari sono i più facili da frazionare. Pensate solamente all'uso quotidiano dei quadretti che i bambini fanno. E' inoltre estremamente semplice rappresentare oggetti rettangolari e frazionarli precisamente.

E la nostra focaccia, appunto, rettangolare, era lì davanti ai nostri occhi pronta ad essere frazionata.

I bambini mi hanno detto che c'erano più possibilità per creare fette tutte uguali, così come nel problema della torta della nonna.

Ma alcune fette erano estremamente scomode da tagliare o da tenere in mano una volta frazionate: pensate una fetta stretta stretta e lunga quanto il lato maggiore della focaccia! E' sì frazionata in modo corretto, ma estremamente scomoda da mangiare!

Per cui, dovevamo trovare un modo facile e comodo per tagliarla in parti uguali. Un bambino ha suggerito: "Proviamo a farla a metà...e poi ancora a metà...e poi...", ma era insicuro su quante volte bisognasse dividere.

Ci è capitato quindi in mano un foglio A4 e, riferendomi ad un'esperienza svolta poco tempo prima, ho chiesto: "Qual è il modo più pratico per dividere in parti uguali un foglio?" ed immediatamente la risposta è stata: "Piegandolo a metà!".

Ho quindi dato il foglio ad una di loro chiedendo di dividerlo a metà e poi aprirlo: si erano formate due parti. Non erano abbastanza, quindi lo ha diviso ancora a metà: 4 parti. Allora ancora a metà: 8 parti. Ed infine un'altra volta a metà: 16 parti!

Abbiamo quindi deciso di tenere come modello il foglio, simile alla focaccia, e di suddividere ogni volta a metà ogni lato, utilizzando una riga per misurarlo.

Abbiamo misurato un lato, guardando i centimetri scritti sulla riga (una primissima esperienza di misura che ci tornerà utile tra poco!).

Una volta misurato il lato maggiore, uno di loro è corso alla lavagna per svolgere la divisione in colonna (è stato un efficacissimo modo per ripassare l'algoritmo!).

A quel punto, mi sono fatta aiutare a trovare il punto giusto sulla focaccia (sul bordo in alto, più o meno a metà e sul bordo in basso), ho effettuato io con il coltello tre segni e ho poi congiunto i segni in modo da formare il taglio netto.

Poi siamo passati a suddividere a metà anche il lato corto. Lo abbiamo misurato, uno di loro è corso a svolgere la divisione alla lavagna, abbiamo osservato il punto preciso in cui tagliare e poi ho effettuato io i tagli con il coltello.

Ora dovevamo, come visualizzato sul foglio-modello, tagliare la focaccia a metà della metà del lato lungo. Quindi, come prima, abbiamo proceduto al frazionamento!

Infine, bisognava tagliare anche la metà della metà del lato corto, per realizzare gli ultimi due tagli e frazionare finalmente la grande focaccia in 16 fette tutte uguali.

 

Ed ecco finalmente la nostra focaccia frazionata il più precisamente possibile in parti uguali, tutte pronte da assaggiare!!! :-)

Da notare: con questa esperienza abbiamo lavorato in modo pratico sulle frazioni, ma anche ragionato sull'area delle figure, fatto esercizio sulla divisione in colonna ed effettuato la prima esperienza di misura!
Perché quando si lavora in matematica è difficilissimo andare per compartimenti stagni!

Prima che arrivasse l'intervallo (momento tanto atteso per assaporare la ghiotta merenda), abbiamo formalizzato sul quaderno alcune informazioni chiave che ci sarebbero servite per ricordare l'esperienza.

Abbiamo prima di tutto disegnato (questa volta non più liberamente, ma con un modello realistico e geometrico) la focaccia frazionata in 16 parti.

Poi ogni bambino ha scelto quale fetta avrebbe mangiato e l'ha colorata scrivendo accanto "La mia fetta".

 Poi abbiamo scritto:

"Ogni bambino prenderà 1 parte su 16.

 1 

16

UN SEDICESIMO di focaccia."



In matematica, per esprimere che abbiamo tagliato una focaccia intera in 16 parti uguali tra loro e che abbiamo preso una parte su 16, dobbiamo scrivere in questo modo.

Ho quindi chiesto ai bambini: "...e la divisione? Sappiamo ora qual è il risultato della divisione che prima avevamo lasciato in sospeso?".

Certo, questo numero particolare che abbiamo appena conosciuto è il risultato della divisione!

1 : 16 = 1/16

Un sedicesimo è una FRAZIONE dell'intero, cioè una parte, uguale alle altre, che abbiamo preso, della focaccia intera.

1/16 è un numero, ma non è un numero naturale!!! Eccoli finalmente qua i tanto attesi numeri "strambi"! :-) Le porte del nuovo mondo matematico si sono finalmente aperte davanti ai nostri piedi!

L'ultima considerazione che abbiamo fatto, ha riguardato la scrittura di questo strano numero: un numero sopra, un numero sotto e una linea nel mezzo...che cosa starà a significare?

Beh, semplice (hanno detto loro!): 1 è la parte di focaccia che abbiamo preso noi. 16 sono tutte le parti in cui è stata frazionata la focaccia.

"E la linea in mezzo? Non vi ricorda qualcosa? ...qualcosa di cui avevamo già discusso tempo fa...che riguarda il simbolo di una speciale operazione...".

Beh, se ci pensiamo, l'operazione che abbiamo fatto per trovare questo numero è una divisione. E tempo fa avevamo discusso riguardo al modo diverso che i bambini in classe utilizzavano per rappresentare il simbolo della divisione: alcuni con i due punti, altri con i due punti separati da una linea, nel mezzo. Io avevo accennato che i due modi di scrivere erano equivalenti, ma che quella linea al centro la avremmo ritrovata presto, perché il suo significato sarebbe stato molto legato a quello della divisione...

In effetti...eccola lì! La linea del simbolo della divisione che alcuni usano abitualmente è proprio quella che sta a dire: "DIVISIONE OPPURE FRAZIONE"! Cioè con questo simbolo potrai operare delle divisioni o delle frazioni!

Nella matematica nulla è lasciato al caso! :-)

Abbiamo quindi schematizzato le nostre riflessioni in questo modo.

Infine, come premio del nostro duro lavoro di corpo e mente, ci siamo tutti rifocillati con una bella fetta di focaccia! Che ci ha permesso di lavorare, di riflettere, di scoprire cose nuove sul mondo della matematica, ma anche di divertirci e di capire in modo pratico che i concetti matematici sono spesso vicini alle cose di tutti i giorni!

Che altro aggiungere? Un'esperienza davvero interessante e, anche da parte mia, entusiasmante, perché, sopra ogni tipo di aspettativa, ha fatto emergere un sacco di spunti che ci hanno stimolato su vari fronti.

L'argomento "frazioni" è appena stato accennato, di lavoro ce n'è da fare! Ma credo che in questo modo, il riferimento a un oggetto concreto e ad una situazione reale abbia aiutato i più "fragili" a comprendere più chiaramente un concetto non semplicissimo, ai più "esperti" di cimentarsi in calcoli, misurazioni o procedimenti complessi, da mettere in atto nella pratica e a tutti ad avere un ricordo duraturo a cui riferirsi ogni volta che, anche in futuro, si parlerà di frazioni come oggetti astratti.

Perché non c'è cosa più semplice e concreta di una frazione a merenda! :-)