La torta della nonna (o come frazionare l'area di un dolce senza parlare né di frazioni né di aree!)

Ecco un bel problema che ho proposto ai miei bambini di terza, durante un lavoro di gruppo.

Il problema è tratto dal testo "La formica e il miele. 30 giochi per ragazze e ragazzi svegli", edito da Mimesis, ed è stato leggermente modificato rispetto al testo originale. In realtà il testo originale è stato proposto come primo input, ma, viste le difficoltà di alcuni gruppi a trovare soluzioni che rispettassero la consegna, è stato successivamente modificato per rendere il compito più semplice.

Sostanzialmente la modifica ha riguardato l'eliminazione dei bignè sopra alla torta (il problema originale chiedeva di metterne uno su ogni fetta) e soffermarsi solamente sulla suddivisione in fette tutte uguali.

Il testo del problema, riadattato, è il seguente:

"Nonna Rosetta ha preparato un dolce speciale per i suoi sei nipoti: Anna, Chiara, Luigi, Marco, Andrea e Francesca. È al cioccolato e la glassa che lo ricopre è stata decorata con sei bignè.

La nonna è un po’ in difficoltà perché vuole distribuire tutto il dolce, facendo in modo che le sei parti siano della stessa dimensione, per non far litigare nessuno.

Ci sono tanti modi in cui la nonna può suddividere il dolce che, guardato dall’alto, ha l’aspetto disegnato qui sotto.

Provate a tagliare la torta in tutti i modi che trovate."

A questo punto, una volta fornito un foglio a quadretti da 1 cm con già disegnati tanti quadrati simili a questo, i bambini in piccoli gruppi da 3/4 membri hanno iniziato a fare i loro tentativi, suddividendo la torta in 6 fette uguali.

Inizialmente, molti faticavano ad immaginarsi le fette di forme "strambe", perché molto legati al materiale e al reale (è facile fare fette diritte, un po' più difficile tagliarle con il coltello seguendo linee spezzate!). Ma una volta compreso che le fette potevano avere qualsiasi forma, purché rispettassero la giusta dimensione, si sono divertiti a trovare diverse combinazioni e ad inventarsi nuove forme per suddividere il quadrato.

Questo problema è un problema di area, di frazioni, di geometria e matematica insieme...che può essere proposto anche senza aver ancora affrontato i concetti che vi stanno alla base.

Dai tentativi dei diversi gruppi, sono emerse tutte queste soluzioni, che ho riunito nelle seguenti immagini.

Le soluzioni sono molte, diverse e interessanti. Le prime emerse sono le più semplici, per poi andare via via fino a quelle più complesse. Da linee rette si passa a linee spezzate che seguono i quadretti o addirittura che tagliano a metà il quadretto in diagonale, pur rispettando le giuste dimensioni.

Abbiamo riflettuto insieme sul fatto che tutte le soluzioni erano diverse, ma la cosa che le rendeva comuni era il fatto di aver porzionato la torta in fette sempre tutte uguali.

La torta inizialmente aveva forma quadrata, ed era formata da 36 quadretti. Noi la abbiamo dovuta dividere in 6 fette e per farlo, quindi, ciascuna fetta doveva essere di 6 quadretti. Una semplice divisione!

Fare le porzioni della torta non è sempre stato facile: certe volte i bambini partivano a fare le fette "dal centro" del quadrato e poi si ritrovavano con quadratini lasciati da parte in un angolo che non potevano essere considerati come fette intere. Per fare le fette in maniera corretta, oltre a contare 6 quadrettini, è stato quindi anche necessario incastrare bene le fette tra loro ed occupare bene tutto lo spazio.

Le fette non hanno tutte la stessa forma: hanno lati ed angoli molto diversi. Ma tutte le fette hanno la stessa dimensione, cioè sono fatte dallo stesso numero di quadratini.

Si può notare come questi ragionamenti spontanei emersi dalla riflessione siano già densi di concetti geometrici intuitivi e totalmente coerenti! L'area è intesa come spazio esteso in quadretti. Figure con forme diverse (e quindi diversi perimetri) possono avere la stessa area (e quindi la stessa dimensione in quadretti). Angoli e lati delle figure devono coincidere e complementarsi, altrimenti non si riesce a completare la suddivisione. Il dolce è uno, ma è suddiviso (e quindi frazionato) in parti tutte uguali tra loro (uguali nell'estensione, più che nella forma).

Le possibilità di tagliare la torta sono state incredibilmente moltissime e, nell'osservarle, ai bambini sono venute in mente altre modalità. Questo sta ad indicare che il problema stimola anche la curiosità di cercare "tutte le diverse possibilità" per risolverlo. E' un problema a moltissime soluzioni! Cosa interessante, dato che di solito i problemi da libro stampato ne ammettono una e una sola e stimolano a supporre che in matematica le soluzioni siano univoche e precise!

Insomma, un problema interessante e appassionante, che, un po' come una sorta di maieutica, tira fuori dai ragazzi un bel po' di conoscenze ancora latenti, ma assolutamente intuitive!

Il passo in più sarebbe stato quello di provare a risolvere il problema nella versione originale, cioè disporre sulla torta i bignè e chiedere ai bambini di suddividere la torta in modo che ogni nipote potesse avere sulla sua fetta un solo bignè.

Qualche gruppo ci ha provato ed è riuscito a soddisfare la complessa richiesta. Diverse delle soluzioni trovate vanno bene anche per la seconda versione.

E' chiaro che in questo modo il numero di soluzioni si riduce drasticamente, pur rimanendo comunque aperto a più proposte, non ad un'unica possibilità.

La cosa che amo della matematica è che spesso è tutta il contrario di come il senso comune la definisca. "Matematica è rigore, precisione, risultati univoci, freddezza, applicazione di regole conosciute, esercizio, rigidità"......e invece quanta creatività, quanta apertura, quanto appassionarsi, quanta non applicazione ma intuizione senza conoscenza, quanto giocare, quante incredibili e svariate soluzioni sottendono i problemi come questo!

E allora perché non proporre ai bambini esperienze come questa, almeno settimanalmente?