Una tabellina per il...2019!

I giorni scorsi, in classe terza, avevo voglia di proporre un bel problema da risolvere a gruppi, che permettesse ai bambini di ragionare e di trovare strategie interessanti...ma che allo stesso modo li aiutasse a prendere dimestichezza con moltiplicazioni e (anche se un po' più "inconsciamente") divisioni, argomenti che stiamo affrontando proprio in queste settimane.

Pensando quindi al da farsi, mi è venuta un'idea estremamente semplice, ma davvero stimolante e funzionale, da questo punto di vista.

Per bambini un po' più grandicelli sarebbe quasi un esercizio...per noi che siamo in terza, invece, è stato un utile stimolo per ideare strategie di calcolo e ragionare in modo critico e argomentato sulle "proprietà" delle tabelline.

Ed in effetti ne sono uscite conclusioni estremamente interessanti.

Da qualche settimana abbiamo ripreso le moltiplicazioni e proprio in quei giorni stavamo riflettendo sulle caratteristiche di ogni singola tabellina.

I bambini, già dalla seconda, hanno capito che le tabelline non si interrompono al "x10", ma sono delle successioni che possono continuare all'infinito e che quindi comprendono molti più prodotti rispetto a quelli imparati.

Inoltre, proprio un paio di giorni prima, avevamo lavorato a questa attività tutti insieme (perché le domande erano piuttosto "toste" e richiedevano un po' di concentrazione e di capacità di spiegazione). 
Questo lavoro è stato utilissimo, perché ci ha permesso di riflettere in modo logico e di analizzare a fondo le caratteristiche delle tabelline e, più in generale, dei numeri.

Ad esempio avevamo notato che le "tabelline pari" hanno sempre risultati pari perché: 

pari + pari = pari

Invece le "tabelline dispari" hanno un risultato pari seguito da uno dispari e così via perché:

dispari + dispari = pari               --> e poi -->               pari + dispari = dispari

Oppure avevamo scoperto che se un numero è già un risultato di un'altra tabellina (è un suo multiplo), allora anche tutti i risultati della "sua" tabellina (tutti i suoi multipli) faranno anche parte della tabellina precedentemente considerata. Ad esempio: 8 fa parte della tabellina del 2 (è uno dei suoi risultati...2x4=8...quindi 8 è multiplo di 2) quindi sicuramente anche tutti i risultati della tabellina dell'8 faranno parte anche della tabellina del 2 (tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 2).

Insomma scoperte "furbine" per una classe terza, che hanno sicuramente smosso diverse menti!

A questo punto, come vi dicevo, ho pensato di proporre un problema apparentemente semplice, ma curioso, che ha subito portato i bambini a fare interessanti riflessioni.

Il problema era il seguente (vi riporto il testo completo che ho dato ai bambini):

"UNA TABELLINA PER…IL 2019!

Ormai conosciamo le tabelline e sappiamo che ciascuna di esse può andare avanti…anche all’infinito!

Per cui, ecco un curioso problema! Sai dire di quale tabellina fa parte il numero 2019?

Fa parte della tabellina dello zero? O dell’uno? O del due? O del tre? O del quattro? O del cinque? O del sei? O del sette? O dell’otto? O del nove? O del dieci?

Perché sì o perché no?

Prova a trovare un modo per stabilire se 2019 fa parte di una o più di queste tabelline e prova a spiegare chiaramente il perché (sia perché sì che perché no!).

Lavora pure in gruppo e scrivi le tue motivazioni su un foglio. 

Poi cercheremo di capire insieme chi ha scoperto di quale o di quali tabelline fa parte il numero di questo nuovo anno!"

I bambini, stimolati dalla sfida e organizzati in gruppi di 3-4, si sono subito messi al lavoro discutendo tra loro e cercando strategie per scoprire la soluzione.

I gruppi hanno fatto alcune riflessioni, ciascuno sul suo foglio (un foglio unico per gruppo), ragionando in modo rigoroso e cercando di convincere gli altri del perché quella trovata fosse una risposta valida.

Per prima cosa i bambini si sono concentrati su due tabelline semplici da analizzare: lo 0 e l'1.

Hanno detto che 2019 non faceva sicuramente parte della tabellina dello zero, perché tutti i numeri moltiplicati per zero danno come risultato zero.

Invece, 2019 fa sicuramente parte della tabellina dell'1 perché, come hanno spiegato, tutti i numeri naturali fanno parte della tabellina o successione dell'uno. La sua regola infatti è "+1" e a 2019 si arriva dopo 2019 salti!

Poi i bambini sono passati ad analizzare le altre tabelline.

Dopo qualche minuto di discussione interna, tutti i gruppi sono arrivati a dire che 2019 non può fare parte di nessuna delle tabelline pari.

L'idea è partita dalla tabellina del 2, che tra i suoi risultati comprende tutti i numeri pari. Questa tabellina è quindi stata immediatamente scartata.

Subito dopo, però, alcuni bambini si sono accorti che tutte le tabelline pari hanno risultati pari e 2019, essendo dispari, non può far parte di nessuna tabellina pari!

Scartate tutte le tabelline pari, qualche bambino si è accorto che ce n'era un'altra che si poteva facilmente scartare: quella del 5! I risultati di questa tabellina, infatti, hanno alle unità sempre 0 o 5. Non è il caso del 2019!

Anche la tabellina del 10 era facile da scartare (anche se molti l'avevano già scartata perché pari): tutti i risultati della tabellina del 10 hanno zero alle unità!

Rimanevano quindi nella lista queste tabelline da analizzare: 3, 7 e 9.

Come fare?

Si poteva fare una divisione e scoprire se il resto era o meno 0. Ma i bambini non avevano ancora preso la giusta dimestichezza con questo algoritmo, quindi hanno preferito fare più o meno la stessa cosa...ma al contrario!

Hanno iniziato analizzando la tabellina del 3.

sono partiti andando avanti di 3: 3, 6, 9, 12, ... Ma si sono resi conto in poco tempo che così ci avrebbero impiegato troppo tempo!

Allora hanno pensato di andare avanti di 30. Per cui: 30, 60, 90, 120, ... Era facile, perché bastava spostare di un posto sull'abaco le cifre della tabellina del 3 e aggiungere uno zero al posto vuoto delle unità!

Una volta arrivati a 300, si poteva continuare così: 300, 600, 1200, 1500, 1800, ancora come la tabellina del 3, ma con due zeri in più.

Arrivati a 1800 (2100 era troppo) i bambini hanno continuato ad aggiungere 30: 1830, 1860, 1890, 1920, 1950, 1980, 2010.

E a questo punto sono tornati ad aggiungere 3: 2013, 2016, 2019!!!

Questo calcolo dimostrava perfettamente il fatto che 2019 appartenesse alla tabellina del 3!

Allo stesso modo i bambini hanno provato a calcolare se 2019 facesse parte anche delle tabelline del 7 e del 9.

Ma per entrambi i conti si arrivava precisamente a 2016! Curioso!

Quindi, la conclusione, ben dimostrata dalle argomentazioni di tutti i gruppi, era che 2019 faceva parte delle tabelline dell'1 e del 3.

Per i calcoli, i bambini hanno spontaneamente usato alcuni strumenti per aiutarsi, come la Linea del Tempo e il Frantuma-numeri.

Ecco i materiali prodotti dai diversi gruppi, scritti come appunti sul proprio foglio. 
Notate come alcune siano ben argomentate e spiegate?
Anche le strategie di calcolo sono state varie, ma corrette!

Noi ci siamo fermati a 10, perché ci è bastato! Ma qualche bambino ha provato a ipotizzare che 2019 facesse parte anche di qualche altra tabellina...chissà!

Al termine del lavoro di gruppo, abbiamo rielaborato l'esperienza in grande gruppo e ci siamo confrontati, scrivendo sul quaderno le nostre spiegazioni.

Ecco come abbiamo riassunto le nostre conclusioni sul quaderno.

Questo problema è stato davvero interessante da affrontare. Interessante perché siamo in terza e lavorare su questi argomenti ha avuto un significato diverso dal "tradizionale".

Se fosse stata una classe quinta, questo sarebbe stato un semplice esercizio sui criteri di divisibilità. Un riconoscimento di multipli e divisori. Un'applicazione di una regola imparata.

Essendo invece un lavoro proposto prima di parlare di multipli e divisori, prima di lavorare sui criteri di divisibilità e anche prima di affinare la tecnica della divisione, è servito ai bambini per riflettere logicamente, per ragionare e argomentare e per dimostrare (attraverso spiegazioni e calcoli motivati) che 2019 fosse multiplo di qualche numero, usando la mente!

Una bella sfida che ha appassionato e che ha permesso di riflettere su aspetti che in futuro saranno utilissimi, matematicamente parlando! 😉