Noi...come il piccolo Friedrich!

Questo argomento non è nuovo, lo ammetto, avevo già raccontato almeno in due post specifici l'esperienza svolta in diverse classi, negli anni passati.

Ma siccome sia il tema, che (soprattutto) il personaggio, che l'attività mi stanno particolarmente a cuore, ho deciso di fare un "remake" e di sistemare e migliorare il racconto, per illustrarvi un percorso che (e di questo ne sono certa!) vale la pena affrontare in una classe quarta (o anche quinta).

Certamente avrete ormai compreso che il mio blog è dedicato al piccolo Carl Friedrich Gauss. 

Questo tributo è assolutamente significativo per me, perchè, come ho anche raccontato nel mio primissimo post introduttivo, la storia del piccolo Gauss deve essere considerata un po' come la storia di ciascuno dei bambini che frequentano la nostra classe. 

Ogni bambino è portatore di novità, ogni bambino riesce sempre in qualche modo a sorprenderci con il suo pensiero divergente, che ci costringe a ripensare al nostro modo di fare scuola, a soluzioni diverse ai nostri problemi, a nuove modalità di lavoro, che in un attimo ci spiazzano!

La storia del piccolo Friedrich Gauss vuole essere l'esempio di cosa dovrebbe significare per noi insegnare matematica...o anche insegnare in generale. 

Non aspettiamoci sempre risposte prevedibili, percorsi di cui solo noi conosciamo la fine. Insegnare significa rimanere anche spiazzati davanti a strade che mai avremmo immaginato di percorrere, restare per un attimo confusi quando un bambino ci chiede una cosa che pensavamo di sapere, ma ci sbagliavamo. 

Questa spinta a rimettersi in gioco ad ogni lezione può fare bene sia a noi (che siamo costretti ad imparare sempre, a lavorare sulla creatività), sia ai nostri bambini (perché li aiuta a ragionare, a non fermarsi alla risposta chiusa, a mettere in discussione tutto e a creare il proprio pensiero creativo).

Date queste premesse, è logico intuire quanto io tenga a questa attività e quanto il riproporla ogni cinque anni faccia emergere una serie infinitamente grande di obiettivi e di valenze dai bambini che ogni volta ho di fronte.

Presentare questo importantissimo matematico ai bambini (qualcuno lo ritiene il più grande matematica di tutti i tempi, tanto da essersi guadagnato l'appellativo di "principe della matematica"!) è sicuramente molto importante e molto utile per comprendere alcuni concetti che passano necessariamente dalla risoluzione di problemi inusuali e interessanti.

Ora vi racconterò da dove sono partita durante le varie sperimentazioni di questo percorso in classe.

Prima di arrivare alla conoscenza del matematico vera e propria, durante le lezioni dei giorni precedenti, avevo proposto ai bambini un problema davvero curioso, che avevamo provato a risolvere insieme, discutendo sulle strategie.

Il problema era più o meno questo:

"Da quando è nato, Marco festeggia il suo compleanno con una torta con le candeline. Conta di aver già spento 210 candeline. Quanti anni ha Marco?"

Dopo qualche minuto di riflessione (e qualche commento spontaneo, del tipo: "Oh, com'è vecchio!!!"), i bambini hanno capito che doveva trattarsi di una somma di numeri successivi. 

Se le candeline spente erano un "totale", allora significava che quel numero era dato dalla somma di 1 (candelina spenta ad un anno) + 2 (candeline spente a due anni) + 3 (candeline spente a tre anni) ... + n (cioè il numero di anni che oggi ha Marco).

I bambini, molto meno algebrici di me, ma decisamente intuitivi, hanno così iniziato a procedere per tentativi e sono ben presto arrivati a capire che Marco dopotutto non era poi così vecchio, dato che aveva solo 20 anni!

Arrivati a questo risultato, i bambini, non contenti, hanno provato a pensare a quante candeline avevano spento loro, nella loro vita. 

Molti bambini in quella classe avevano 9 anni, quindi hanno affermato che nella loro vita avevano spento già 45 candeline! 

Ma, si sa, il pensiero dei bambini è sempre rivolto verso il futuro (diversamente da noi adulti che tendiamo a "toglierci" sempre qualche annetto!). Molti bambini, in procinto di compiere i 10 anni (o con 10 anni appena compiuti), hanno affermato che il giorno del loro decimo compleanno avrebbero spento in totale ben 55 candeline!

I bambini frequentano una quarta elementare e sono in grado di svolgere semplici problemi come questo con facilità, facendo anche modifiche o aggiunte per portare le loro riflessioni. Insomma, a loro piace molto "giocare" con i problemi.

Proponendo questo problema all'inizio senza intenzioni particolari, ho però colto subito l'occasione d'oro che poteva sfruttare, ovvero proporre in maniera assolutamente coerente la storia di un matematico davvero straordinario, che ha cominciato a stupire fin dalla tenera età...

Ecco quindi come ho iniziato a prepararmi per lavorare su questo matematico.

Come sapete, nella mia piccola casa ho una vastissima biblioteca matematico-scientifica, sia per adulti che per bambini. Ho quindi iniziato a mettere mano ai libri, trovando per ciascuno la pagina giusta sulla quale ricavare informazioni o spunti utili.

In particolare ho scelto questi libri: 

- "Matematici" di Giorgio Tomaso Bagni (Ed. Antilia Terra Ferma): pp. 198-206 (per acquistarlo: https://amzn.to/2IQkYyJ )

- "Storia della matematica" di Giancarlo Masini (Ed. Sestante): pp. 103-110 (per acquistarlo: https://amzn.to/33q8KEA )

- "Ce li hai i numeri?" di Kristin Dahl (Editoriale Scienza): pp. 37-39 (per acquistarlo: https://amzn.to/2IOf1SQ )

- "La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart" di Ian Stewart (Ed. Codice): pp. 139-141 (per acquistarlo: https://amzn.to/2ME4tqv )

- "La matematica non serve a nulla. Provocazioni e risposte per capire di più" di Giorgio Bolondi e Bruno D'Amore (Editrice Compositori): pp. 51-54 (per acquistarlo: https://amzn.to/2oEhrwk )

- "Io conto" di Anna Cerasoli (Feltrinelli Kids): pp. 11-13 (per acquistarlo: https://amzn.to/2pfTpIf )

- "Matematica da tasca" di Albrecht Beutelspacher (Ed. Ponte alla grazie): pp. 50-51 (per acquistarlo: https://amzn.to/2nKcl1j ).

Una volta visti i materiali e scelti quelli più utili al lavoro in classe, ho pensato a come strutturare l'attività. Ovviamente ho più che altro pensato solo alla struttura, perché poi avrei lasciato liberi i bambini di lavorare a gruppi e di elaborare le loro personali soluzioni, non avendo aspirazioni particolari legate al risultato...

La mattina seguente sono arrivata in classe e ho esordito davanti ai bambini più o meno in questo modo: "Oggi facciamo un viaggio nel tempo: siamo nel 1700" 

"Quando c'erano i nostri nonni?" ha risposto una bimba. "Beh, un bel po' prima!" "Ah, quando c'era Pitagora!" "Al tempo dei romani!". "No, no. Diciamo che siamo molto più vicini a noi rispetto ai romani o a Pitagora. Circa 300 anni fa".

"Va bene, siamo nel 1700, in Germania". Il sorriso di una bimba di origini tedesche presente nella classe si è acceso immediatamente.

"Ecco, siamo in una scuola primaria tedesca del 1700. Esattamente siamo in una quarta elementare!" "Come noi, maestra!" "Che bello!!!".

"Una volta le classi non erano come le nostre. C'erano classi formate solo da maschi e classi formate solo da femmine. Ecco, oggi noi siamo in una classe di soli maschi", l'orgoglio dei ragazzini in quel momento è arrivato fino alle stelle; le femmine hanno sbuffato un po', ma sono rimaste in ascolto, curiose di sapere dove voleva arrivare la maestra...

"Questi bambini avevano un maestro, anche lui maschio, che era molto ma molto severo! Oggi il maestro entra in classe e, siccome è molto arrabbiato e poi deve anche parlare un attimo con il Dirigente, decide di dare ai suoi alunni un esercizio di matematica molto difficile. Almeno i suoi alunni lo lasceranno in pace senza disturbarlo per una buona mezz'ora! Così lo scrive alla lavagna."

A quel punto sono andata verso la lavagna e ho scritto: 

"Trovare la somma di tutti i numeri da 1 a 100".

I bambini sono rimasti qualche secondo a fissarmi in silenzio, attoniti e scossi dalla richiesta. 

Un bambino timidamente ha domandato: "Ma...ma dobbiamo farlo anche noi?". 

Io, inflessibile e burbera come il maestro in questione ho risposto: "Perché? Non frequentate anche voi una quarta elementare? Se sono stati in grado di risolvere questo esercizio dei bambini del 1700, non vedo perché non dovreste essere capaci voi, nel 2015!". 😄

Le facce dei bambini si sono fatte un po' più sconvolte. Allora ho sfoderato il mio solito sorriso scherzoso, rassicurandoli in questo modo: "E' vero, voi siete assolutamente in grado di risolvere questo esercizio. Ma voi sapete anche lavorare in modo diverso rispetto ai bambini del 1700. Quel maestro pretendeva che i bambini lavorassero tutti da soli, in rigoroso silenzio, facendo tutte le somme una ad una sulla loro lavagnetta senza sbagliare. Noi invece non lavoriamo così. Possiamo anche discutere insieme, confrontarci".

I bambini, più rilassati, hanno però fatto una giusta osservazione: "Sì, ma anche se lavoriamo insieme, fare la somma di 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... fino a 100 è un lavoro lunghissimo!".

"Certo" ho risposto "però voi sapete fare un'altra cosa che i bambini del 1700 erano poco abituati a fare. Io sono sicura che ragionando, potrete trovare delle strategie che vi 'accorciano la strada' per arrivare al risultato, che vi fanno risparmiare tempo. 

Sapete? Anche un bambino in quella classe è riuscito a fare una cosa del genere. Infatti, dopo un solo minuto si è presentato dal maestro con il risultato scritto sulla sua lavagnetta, che era un po' come il nostro quadernone a quadretti. 

Il maestro l'ha subito sgridato, dicendogli di andare immediatamente al posto perché pensava che avesse sbagliato tutto! In fondo, secondo lui, era impossibile che in così poco tempo fosse riuscito a risolvere quel difficile problema. 

Invece quel bambino era proprio arrivato alla soluzione giusta! E c'era riuscito trovando una strategia molto furba, che dopo vi racconterò. 

Secondo me anche voi sareste in grado di trovarne una così comoda... Volete provare?".

I bambini, iperstimolati sia dal contesto (storico e reale) della vicenda, sia dalla giusta provocazione che avevo loro dato come in una sorta di sfida, si sono messi immediatamente al lavoro, cercando di trovare, assieme ai compagni di banco o agli amici, una strategia "veloce" per arrivare al risultato giusto.

Ecco le varie strategie trovate, una più interessante dell'altra.

1- Dopo pochi minuti, ecco avvicinarsi un gruppo di bambini che avevano elaborato una soluzione. Uno di loro ha spiegato: "Io ho capito che se si fa 1 + 100, oppure 2 + 99, o 3 + 98, viene sempre 101. Allora ho moltiplicato 101 per 100 volte e il mio risultato è 10.100". Non ho voluto dare loro un feedback subito, dicendo che alla fine tutti i bambini avrebbero discusso insieme e confrontato le soluzioni.

101 x 100 = 10.100

2- Un altro gruppo di bambini è arrivato a un risultato, attraverso un'interessante strategia. Hanno portato un foglio sul quale avevano scritto tutti i numeri da 1 a 100 in file e su cui avevano segnato in modo diverso vari numeri. Poi hanno spiegato in questo modo la loro soluzione: "Abbiamo pensato che le coppie 1 + 99, 2 + 98, 3 + 97, ecc... davano dei risultati "comodi", cioè facevano tutte 100. Abbiamo contato le coppie, che erano 49, quindi abbiamo fatto 100 x 49, che dà come risultato 4.900. Però da queste coppie rimanevano fuori il 100 (perchè era l'ultimo) e il 50 (perchè era a metà e non si accoppiava con niente). Allora abbiamo fatto 4.900 + 100 + 50 e il nostro risultato è stato 5.050".

3- Un terzo gruppo di bambini è arrivato al risultato attraverso un'ingegnosa strada diversa, che ha dimostrato la loro sorprendente capacità di collegare l'attività di quel momento a una conoscenza pregressa, ovvero il problema svolto proprio qualche giorno prima! 

Nessuno aveva suggerito questa analogia, solo che probabilmente a loro era rimasto particolarmente impresso il risultato del vecchio problema e hanno ben pensato di sfruttarlo a loro vantaggio per risolvere quello nuovo.

Anche loro hanno portato un foglio su cui si erano scritti particolari appunti. Hanno poi descritto il loro ragionamento: "L'altro giorno con il problema di Marco abbiamo capito che la somma dei numeri da 1 a 10 fa 55 (quando facevamo i conti per capire quante candeline avremmo spento il giorno del nostro decimo compleanno). Ora, in ogni riga le unità più la decina finale dei numeri danno sempre come risultato 55 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55).

Per la prima riga, quindi, il risultato è 55. 

Nella seconda riga, se sommiamo le unità e la decina finale abbiamo 55, ma ogni numero vale una decina di più rispetto alla riga precedente. Quindi facciamo 10 x 10 = 100. La seconda riga sarà perciò 55 + 100. 

Nella terza riga i numeri valgono due decine in più rispetto a quelli della prima riga, quindi 20 x 10 = 200. La terza riga sarà perciò 55 + 200. 

La quarta riga, secondo questo ragionamento sarà 55 + 300, la quinta 55 + 400 e così via, fino all'ultima. 

Alla fine sommiamo tutto: 55 x 10 volte, che fa 550 + 100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 600 + 700 + 800 + 900. Facendo in questo modo, le somme diventano più facili. Il nostro risultato è quindi 5.050".

La soluzione laboriosa, ma estremamente ragionata e "scomposta" di questo gruppo è davvero interessante. Più dispendiosa in termini di tempo rispetto alle altre due, ma certamente molto logica. 

I bambini avrebbero potuto fare un'altra "composizione di numeri", magari accorgendosi che 100 + 900, 200 + 800, 300 + 700 e 400 + 600 davano sempre come risultato 1000 e quindi arrivare a fare 550 + 4000 + 500. 

Ma accontentiamoci della magnifica soluzione da loro trovata, che è già un incredibile esempio di ragionamento e abilità nel calcolo mentale.

4- Un quarto gruppo ha elaborato un ragionamento molto simile a quest'ultimo, ma in modo un po' più particolare. Hanno prima sommato tutte le decine da 10 a 90 e hanno trovato il risultato: 450. Poi hanno sommato tutti i numeri con unità 1 (1, 11, 21, 31, ...) e hanno ragionato dicendo che le decine avrebbero dato ancora 450, mentre le unità sommate insieme avrebbero dato 10, quindi il totale era di 460.

Stessa cosa con i numeri con 2 alle unità (2, 12, 22, 32, ...): 450 la somma delle loro decine e 20 la somma delle loro unità. Totale 480.

Hanno continuato in questo modo (come si vede anche nello schema qui sotto), ottenendo tutti i risultati parziali, che poi hanno sommato insieme alla fine, ottenendo 5050.

Direte voi: beh, non è che si sono accorciati troppo il lavoro! E' vero, ma sono comunque ottime e lodevoli le strategie messe in atto per velocizzare il calcolo e arrivare più in fretta al risultato!

5- Un ultimo gruppo ha ragionato in modo molto simile al primo gruppo, ma si è accorto di un particolare in più. Anche loro hanno ragionato sul fatto di unire i numeri in coppie che dessero sempre lo stesso risultato, in particolare 101. 1+100, 2+99, 3+98, ecc...erano tutte coppie che davano 101 come risultato e, alla fine, non rimaneva "senza coppia" neanche un numero. Solo che loro si sono accorti che le coppie non erano 100, ma 50, cioè la metà di 100! Quindi alla fine è bastato fare 101 x 50 e trovare il risultato: 5050!

Queste sono state le cinque soluzioni ingegnose e salvatempo trovate dai bambini, che sono state poi spiegate a tutto il gruppo e confrontate.
       

E' apparso subito evidente che il risultato del primo gruppo si discostava dagli altri (anche se non troppo in realtà...era infatti il doppio del risultato trovato dagli altri!).

I bambini hanno capito che quindi forse il risultato giusto era proprio 5.050, risultato ottenuto da tutti gli altri gruppi.

E' stato estremamente interessante far spiegare ai bambini le varie strategie e vedere i compagni che le provavano e le capivano...a volte scuotendo un po' la testa come a dire: "Mamma mia come vi siete complicati la vita!", altre volte sorpresi e soddisfatti dicendo: "Che bella idea che avete avuto! Comoda! Io non ci avrei mai pensato!".

Inutile dire che il lavoro di confronto delle strategie è la parte più utile, interessante e anche arricchente di tutta l'attività.

Esporre le varie strategie, far spiegare ai gruppi come hanno lavorato, vedere i bambini incuriositi, osservarli mentre, alla lavagna come maestri, mostrano i loro ragionamenti e i loro passaggi, scoprire con loro possibilità diverse che portano alla stessa soluzione e lasciare che da soli si commentino, si correggano e capiscano eventualmente dove hanno sbagliato o dove possano migliorare è il lavoro matematico per eccellenza, che andrebbe sempre incentivato e incoraggiato in classe!

Ma i bambini, dopo tutto questo ragionare, erano proprio curiosi di capire come andasse a finire la storia e come Firedrich fosse arrivato velocemente alla soluzione! Volevano soprattutto capire se la soluzione trovata da Friedrich era una delle loro, oppure era una ancora più veloce! 

Per verificarlo hanno ascoltato quindi la soluzione di Friedrich, il bambino che in quella classe del 1700 aveva sorpreso tutti i compagni e addirittura il suo maestro! Ho spiegato quindi loro come aveva ragionato il loro storico "compagno di classe".
       

Friedrich (o meglio Carl Friedrich Gauss) aveva trovato questa strategia: aveva scoperto che 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 e così via erano tutte coppie che davano come risultato 101. 

I numeri da sommare erano 100, ma se i numeri erano accoppiati tra loro, significava che le coppie in totale erano la metà di 100, cioè 50. 

Friedrich quindi aveva velocemente intuito che per risolvere il problema poteva fare 101 x (100 : 2) cioè 101 x 50 che fa proprio 5.050!
       

A quel punto i bambini del quinto gruppo sono immediatamente intervenuti esclamando: "Ma è come la nostra soluzione!".

Immaginate la soddisfazione e la gioia di quei bambini che hanno capito di aver ragionato come aveva fatto, da bambino, un grande matematico!!!

In realtà, nella discussione fatta prima insieme, tutti si erano accorti che in effetti quella strategia era la più veloce, comoda ed economica da usare. La conferma del piccolo Friedrich è stata comunque decisiva!

Insomma, a questo gruppo (e, in parte, anche al primo che aveva intuito la corretta soluzione, anche se si era dimenticato un dettaglio) è andato il merito di essere riuscito a ragionare così come aveva fatto Friedrich.
Ma anche a tutti gli altri gruppi è andato il merito di essere arrivati, per strade diverse, al corretto risultato del problema: 5.050!

Una soddisfazione generale, insomma!

A quel punto, ho deciso di terminare il lavoro leggendo ai bambini due versioni della storia di Friedrich (che non si sa bene se sia vera storia, leggenda o altro, dato che appunto le versioni abbondano di particolari diversi tra loro).

Ho scelto di leggere la versione più divertente e scorrevole di Giorgio Tomaso Bagni in "Matematici", che farcisce l'aneddoto con la presenza di un antipatico e biondissimo compagno di classe, seduto nel primo banco e preferito del burbero maestro, che non riesce questa volta a superare l'ingegno e l'umiltà del piccolo Friedrich e, alla fine, completa la storia con una frase curiosa che dà l'idea di cosa pensasse quel maestro della disciplina che insegnava: 

"Carl Friedrich Gauss, in aritmetica, come in ogni altra umana attività, non si può evitare la fatica. Torna dunque al tuo posto, e ricordati, in futuro, di procedere con più umiltà, come fanno tutti i tuoi bravi colleghi che stanno ancora lavorando. Insomma, tu chi credi di essere? Un principe?". 😄

Curioso notare come questa concezione della matematica non sia ancora del tutto scomparsa nelle idee di molti insegnanti e studenti...e come i bambini della mia classe, con questa attività, siano riusciti a dimostrare esattamente il contrario! 

Inoltre, chi conosce la storia della matematica sa che il piccolo Friedrich una volta cresciuto ricevette appunto l'appellativo di "principe della matematica".

La seconda lettura che ho scelto di fare è quella presente sul testo "Storia della matematica" di Masini. 

Questa narrazione (pur riportando qualche imprecisione) racconta in maniera un po' più complessa la vita familiare del piccolo Friedrich e spiega in modo leggermente diverso la vicenda accaduta nella sua classe. 

Innanzitutto dice il nome del maestro tanto intransigente, il signor Buttner (sarà un dettaglio irrilevante per voi, ma ai bambini basta un nome perchè tutta una storia diventi ancora più reale e interessante!!!).

Poi racconta, in modo molto diverso rispetto all'altra versione, come il maestro, resosi conto della genialità del suo alunno, abbia alla fine ceduto e, commosso, da lì in poi abbia fatto di tutto per far studiare quel ragazzino nel miglior modo possibile, comprandogli lui stesso i libri che la famiglia non si sarebbe potuta permettere e regalandogli addirittura i testi di algebra, analisi e geometria più in voga di quel periodo.

Carl Friedrich Gauss diventò uno dei più grandi matematici della storia. I bambini lo hanno capito e probabilmente in cuor loro hanno anche sperato di poter fare, da grandi, cose altrettanto importanti. 

Io glielo auguro, con tutto il cuore. Non di diventare matematici, ma che le loro piccole idee e intuizioni creative non vengano mai spente da un "maestro" che crede che la via migliore sia quella dell'assertiva fatica. Che imparino a tirar fuori da loro sempre il meglio, per arrivare, magari prima degli altri e con soluzioni geniali, ai risultati sperati.

Probabilmente avrete notato che questo articolo mi sta forse più a cuore degli altri. 

Questo personaggio, che ha addirittura dato il nome al mio blog, è sicuramente una delle figure più importanti della matematica. Ma ancora più importante, per me, è il fatto che di lui si racconti questo aneddoto di quand'era bambino e, soprattutto, di quando si trovava in classe, di fronte al suo maestro.

E' una storia che, in quanto insegnante di matematica, mi ha sempre fatto molto riflettere e pensare al mio mestiere e a come sia a volte difficile scorgere nei bambini queste meravigliose e inaspettate intuizioni, che all'improvviso ribaltano tutto, la lezione, l'attività, gli obiettivi del lavoro...persino il proprio modo di insegnare!

E' bellissimo quando accade questo ed è importantissimo non lasciarsi sfuggire nemmeno uno di questi momenti! Anche se questa cosa non è quasi mai facile!

Ogni volta che propongo questa attività alla "mia classe quarta", devo ammetterlo, mi brillano un po' gli occhi!

Attraverso questa storia vedo anche nei bambini che ho di fronte il riflesso di questo modo di intendere la matematica e scopro sempre qualcosa in più su di loro, sul loro modo di interpretare e di affrontare la sfida, sul loro non arrendersi, sul loro lavorare in gruppo, sul loro arrivare a strategie che mi stupiscono ogni volta, perché non sono mai le stesse!

Io ho deciso di condividere questa bellissima esperienza con voi, per dare ancora più importanza al loro lavoro e fornirvi delle idee interessanti per costruire le vostre attività matematiche in classe. E soprattutto per spiegarvi perché lavorare in questo modo in matematica è davvero importante.

L'ho già detto mille volte e lo ripeto: la storia della matematica è assolutamente un valore aggiunto alla didattica. Probabilmente questo post vi ha dato un'idea del perché io la pensi così.

I bambini si immedesimano nelle situazioni, diventano loro i personaggi di una storia che è a tutti gli effetti una storia vera, realmente successa tanto tempo fa.

Sono motivati a trovare delle soluzioni perché si sentono come i protagonisti, colgono le stesse motivazioni che essi hanno trovato e hanno voglia di confrontarsi con loro, di sfidarli per diventare in qualche modo migliori.

Lavorare in questo modo non solo contribuisce a restituire un senso alla matematica, ma dà delle basi profonde che i bambini difficilmente dimenticheranno perché in questo modo sono stati in prima persona coinvolti a scoprire.

Insomma, vedere la personificazione vivente del personaggio che ha ispirato il mio blog, vedere tanti piccoli Friedrich all'opera, è stata una soddisfazione incredibile! 😊

Alla fine, ho raccontato ai bambini che questo "piccolo Friedrich" che ogni tanto si ritrovano in schede e attività non è altro che il nome del mio blog che è stato ispirato da questo grande matematico, Carl Friedrich Gauss.

A proposito, se volete presentare anche voi questo personaggio ai bambini e vi piace l'immagine che fa da logo al mio blog, qui potete trovarla a colori e qui in bianco e nero, da far colorare ai bambini e da fare incollare sul quaderno.

La sfida ulteriore che ho proposto, qualche giorno dopo, ai bambini è stata questa: Friedrich è riuscito a trovare un modo rapido per fare una somma di numeri successivi, nel suo caso da 1 a 100.

Abbiamo ricordato un'attività svolta qualche anno prima che ci chiedeva proprio di fare sempre somme di numeri successivi, e cioè l'attività sui numeri triangolari di Pitagora! Per scoprire i numeri triangolari devo infatti usare una somma di n numeri successivi!

Quindi: come ricavare una regola generale per trovare qualsiasi somma di numeri successivi? Ad esempio da 1 a 50, o da 1 a 347 o da 1 a 100 000?

Ho chiesto ai bambini di provare a spiegare se poteva esserci una regola valida per tutte queste somme, anche ripensando al lavoro appena svolto.

La domanda è assolutamente complessa e difficile per bambini di quarta! Ma loro non si sono fatti intimidire e hanno provato a spiegarmi quale fosse la regola, che, dopo una discussione fatta insieme, abbiamo elaborato in questo modo (semplice, ma corretto e adatto a una classe quarta).

Mi hanno detto che, come nell'esercizio del piccolo Friedrich, per fare una somma di numeri successivi, fino a un "numero a caso" (per comodità lo abbiamo chiamato n), bastava fare il numero successivo di n (nel caso di Friedrich bisognava sommare 100 numeri e la strategia mostrava come tutte le coppie dessero sempre 101, che è il successivo di n), quindi n+1, moltiplicato per la metà di n (perché tutti i numeri in successione dovevano essere accoppiati, quindi di fatto le coppie erano la metà di quel numero!) e cioè n : 2.

Ragionando insieme e provando a trasformare in "matematichese" questa nostra frase corretta dal punto di vista logico, è venuta fuori questa "formula", cioè questa operazione a cui basta sostituire "n" con un numero qualsiasi per trovare una somma di numeri successivi:

(n + 1) x (n : 2)

Come vi dicevo, è una formula molto più "lunga" di quella, semplificata, di Gauss. Ma per le abilità dei bambini di quarta è più adatta e, soprattutto, è stata formulata e generalizzata da loro... Quindi per ora è perfetta ed utile in questi termini. Per la semplificazione e la traduzione in termini algebrici più appropriati c'è tempo!

Questa è la formula trovata da noi.

Questa è la classica formula di Gauss che si trova sui libri di testo della scuola secondaria.
Il significato è lo stesso, qui è espressa in forma più sintetica.

I bambini hanno perfettamente capito il suo significato (beh, me lo hanno spiegato loro!!!) e quindi, ad esempio, se volessi trovare la somma dei primi 346 numeri successivi dovrei sostituire 346 alla n e fare:

(346 + 1) x (346 : 2) = 347 x 173 = 60 031

Facile, svelto, ingegnoso! E in più siamo certi che il numero 60 031 è un numero triangolare!

Abbiamo fatto diversi esempi e i bambini sono rimasti enormemente soddisfatti da questo lavoro! E' stato come sentirsi veri matematici per qualche giorno!

Io ovviamente ho enfatizzato molto la faccenda, dicendo che ciò che stavano elaborando era davvero "difficile" e "per grandi", ma che visto che erano stati così bravi da arrivare allo stesso risultato del piccolo Friedrich, si potevano permettere di arrivare anche a questo complesso risultato!

E' stata davvero un'enorme soddisfazione per tutti! Sia per loro che per me!

E un grande lavoro di problem solving, di ragionamento sulle strategie di calcolo, di lavoro cooperativo, di elaborazione di una formula, quindi di trasformazione dal linguaggio "parlato" al linguaggio matematico, di arrivo a una generalizzazione, di aggancio al concreto e ad apprendimenti già consolidati, di esperienza laboratoriale di matematica, ...insomma di matematica vera!

Il consiglio è di provare con i bambini questa attività, ricchissima di agganci e di valenze importantissime!

A proposito, a questo link potete trovare il racconto di questa attività di una mia classe quarta (una delle occasioni in cui ho proposto questa esperienza), fatto direttamente dai bambini.

In quel caso, la cosa bella è stata che alla fine i bambini hanno tirato un po' le somme e hanno provato a spiegare i loro insegnamenti più generali di quel lavoro. Ecco che cos'hanno detto:

"Lavorare a questo problema ci ha insegnato che:

• si può trovare una strategia più veloce di quella "tradizionale" per risolvere problemi o operazioni;
• ci possono essere tante strade per arrivare allo stesso risultato;
• le idee geniali possono venire a tutti, non bisogna mai sentirsi superiori;
• a volte l'idea di un bambino può essere migliore anche di quella di un adulto!".

Insomma, buon lavoro in compagnia del piccolo Friedrich! 😉