La sfida del Matecalendario 2018 di dicembre - L'albero (di Natale) di Sierpinski!

Oggi vi racconto come abbiamo affrontato in classe la sfida del Matecalendario di dicembre! Davvero una delle più entusiasmanti di tutto l'anno!!!

La sfida chiedeva di costruire un albero di Natale speciale...un albero di Natale di Sierpinski!!!

Che cos'è un albero (di Natale) di Sierpinski? Ve lo spiego e ve lo mostro subito! 

Noi (in classe terza...ma si può fare anche in quarta o quinta!) lo abbiamo costruito sia in 2D che in 3D!!!

Per realizzare questa attività trovate tutti i materiali e le spiegazioni sulla Guida Dodici 18. 

Ecco la consegna riportata sul Matecalendario:

Sul Matecalendario erano poi disegnati dei modelli di tetraedri da ritagliare e costruire. Io, per comodità, vi allego qui dei modelli già pronti da stampare direttamente su carta (normale, non cartoncino!) verde e da utilizzare con i bambini.

Abbiamo lavorato, nella nostra Aula delle Scienze, con tutti i bambini delle tre classi terze del nostro Istituto. 

Appena letta la consegna, i bambini hanno voluto subito cimentarsi in questa impresa, curiosissimi del risultato che sarebbe venuto fuori alla fine (e motivatissimi da me!).

Ho consegnato per prima cosa un foglio a ciascun bambino. 

Ognuno ritagliava i suoi sviluppi di tetraedri lungo il contorno, li piegava, li incollava in modo da formare veri e propri tetraedri e alla fine mi portava quelli pronti alla cattedra, in una scatola.

Chi finiva poteva prendere un altro foglio e continuare (ve lo giuro, non ho dovuto costringerli a far niente! Più vedevano che l'albero si componeva, più erano loro entusiasti e volevano continuare ad aiutarmi a comporlo! Quindi la loro voglia di continuare con questa attività prettamente manuale è stata decisamente molto spontanea).

Per concludere l'intero lavoro ci sono volute circa 2 settimane, dall'inizio di dicembre fino a metà dicembre. Chiaramente non di lavoro continuativo!!!!!

Inizialmente abbiamo impiegato un paio d'ore per la spiegazione e il taglio del primo foglio (o anche qualcosina in più). Poi in altre ore (come per esempio l'ora di arte o di tecnologia) abbiamo continuato. Qualcuno anche durante l'intervallo veniva a tagliare o assemblare dei pezzi.

E considerate che c'è stata l'unione delle forze di tre classi!

Lavoro grandioso, ma di enorme collaborazione!!!

Altri bambini che finivano, mi potevano aiutare nell'assemblaggio. In questo caso io ho sempre coordinato le fasi, per evitare errori, ma ho delegato ai bambini che mi sembravano più precisi ed esperti le fasi di assemblaggio di alcuni moduli.

Per assemblare i pezzi ci vuole solo un pizzico di attenzione, ma poi, una volta capito, è facilissimo!

Ogni modulo si compone di 4 tetraedri, fissati tra loro tramite i vertici.

Noi abbiamo usato il nastro adesivo, per assemblare i tetraedri. Si poteva usare anche la colla a caldo o un puntino di colla vinavil, ma mi sembrava un lavoro più lungo e di maggiore pazienza, quindi abbiamo optato per il nastro adesivo, più rapido e comodo.

I moduli venivano composti uno alla volta, ma...una volta pronti 4 moduli piccoli, si potevano assemblare tra loro per formare un modulo medio!

Come? Sempre unendo i moduli piccoli sui vertici (fate finta di considerare un modulo piccolo come un tetraedro "intero" e il gioco è fatto!).

Ma anche 4 moduli medi possono essere uniti tra loro (allo stesso modo) sui vertici per comporre un modulo grande!

E 4 moduli grandi si possono unire tramite i vertici per comporre un modulo gigante!

E così via...fino all'infinito! Si potrebbe andare avanti senza fine!

E la cosa bella è che, una volta iniziato, non si vorrebbe finire mai, anche se ad ogni passaggio il lavoro si moltiplica esponenzialmente!!!

I bambini, presissimi dal lavoro, hanno deciso di unire anche 4 moduli giganti per formare un modulo enorme, che è stato poi il punto di arrivo del nostro grande Albero di Natale!!!

La cosa che li sorprendeva di più era tornare in quell'aula dopo alcune ore o il giorno successivo (l'Aula delle Scienze è condivisa e i bambini delle tre classi la utilizzano a rotazione) e vedere piano piano i progressi dell'Albero che continuava a crescere! Questo li motivava a continuare e li sorprendeva ogni giorni di più!!!

Il giorno in cui abbiamo detto "basta" (ci siamo accorti che per costruire altri 3 moduli enormi ci sarebbe voluto il quadruplo del tempo già impiegato! Ed inoltre un albero così "super-enorme" non ci sarebbe stato in classe! Avrebbe occupato troppo spazio!), l'emozione nel momento del montaggio finale era a mille!!! Tanto da chiamare i compagni di tutte le tre classi per assistere all'evento!!!

Il nostro Albero di Natale di Sierpinski era pronto...o quasi! Mancavano le decorazioni natalizie!

Qualche giorno dopo ci sarebbe stata la festa di Natale con i genitori e i bambini non vedevano l'ora di mostrare la loro immensa opera alle famiglie!!!

Nei giorni successivi così i bambini, a turno, sono andati ad addobbare l'Albero (che miracolosamente ha retto nonostante il fragile nastro adesivo...anche se ogni tanto ha dovuto subire qualche piccola opera di ristrutturazione!!!) con palline fatte di carta velina appallottolata e incollate con la colla Vinavil, con adesivi colorati, con stelline natalizie e altre piccole decorazioni.

Alcuni compagni si sono dedicati alle stelle: utilizzando una griglia triangolare hanno disegnato stelle di varie dimensioni e le hanno colorate di giallo. Con esse abbiamo realizzato un bellissimo sfondo a tema! Oltre che il grande e triplo puntale dell'Albero!

Inoltre alcuni bambini mi hanno aiutato a realizzare delle lettere, sempre sulla griglia triangolare (tra un attimo vi spiego il perché), che hanno poi ritagliato per formare una scritta.

Abbiamo posizionato il nostro albero su alcune scatole di colore rosso, per dare un tocco natalizio in più!

Inoltre i bambini mi hanno suggerito di usare i dadi che avevamo costruito insieme in classe prima come pacchetti regalo decorativi da mettere sotto al nostro Albero matematico!

Su ogni dado abbiamo messo un fiocchetto: meravigliosa idea e occasione per tirarli fuori di nuovo! E un effetto davvero natalizio!!!

Ecco la nostra meravigliosa opera finita! Enorme soddisfazione!!!

Ma...nel frattempo? Quale lavoro matematico (oltre che questo di semplice costruzione) è stato affiancato sul quaderno?

Sul quaderno, come ogni mese, abbiamo incollato il testo della sfida e cercato di capire meglio chi fosse Sierpinski e cosa avesse inventato di interessante dal punto di vista matematico.

Abbiamo trovato un'immagine del matematico e abbiamo letto in breve su Wikipedia la sua storia.

Osservando le immagini a lui collegate, c'era quella di un triangolo, molto simile al nostro Albero di Natale, ma in 2 dimensioni. I bambini hanno voluto immediatamente provare a costruirlo!

Prima di costruirlo, ho chiesto loro di provare a descriverlo: 

• era un triangolo fatto di tanti triangoli, sempre più piccoli (o sempre più grandi);
• per costruirlo serviva una griglia a triangoli, non poteva essere usato il foglio a quadretti;
• sembrava un'illusione ottica;
• Nel triangolo si potevano vedere spazi pieni e vuoti: i "pieni" erano sempre orientati con una "punta" verso l'alto, mentre i "vuoti" con la "punta" verso il basso (la stessa cosa succedeva nel nostro Albero di Natale...ci eravamo già accorti!);
• ogni pezzo del triangolo sembrava uguale a tutto il triangolo, solo più ingrandito o rimpicciolito (i matematici direbbero: autosimilarità!!!);
• tutti i triangoli si toccavano solo tramite i vertici;
• si poteva continuare all'infinito, seguendo sempre la stessa regola;
• era una figura davvero affascinante e magica!

Ho spiegato ai bambini che le figure come quella del triangolo di Sierpinski si chiamano frattali, cioè figure che rimangono sempre uguali a sé stesse anche se continuiamo all'infinito a costruirle con una medesima regola.

I bambini sono rimasti davvero affascinati da questa figura, tanto che hanno voluto cercare su Google delle immagini o delle gif animate che mostrassero come queste figure potrebbero andare avanti ad essere costruite all'infinito, sempre rimanendo uguali a sé stesse. Abbiamo trovato il Triangolo di Sierpinski, ma anche il Quadrato!!!

Ecco quelle più curiose che abbiamo visto e scaricato.

Alcune fanno un po' venire il "mal di mare", ma sono davvero efficaci per comprendere che cosa succeda in un frattale!!!

Il disegno sembra rimanere sempre identico anche se si ingrandisce, perché la regola ricorsiva che lo compone è sempre la stessa!

Dopo aver ragionato sulle caratteristiche del Triangolo di Sierpinski, ho invitato i bambini a costruirne uno (a due dimensioni), seguendo le mie indicazioni passo passo. 

Devo dire che ero un po' preoccupata all'inizio, ma dopo aver visto il loro impegno il mese precedente nella costruzione della spirale di Fibonacci, un po' di fiducia ce l'avevo... E la fiducia è stata ben riposta, dato che sono stati tutti molto molto bravi ed accurati nelle diverse realizzazioni!

Ora mostrerò anche a voi le istruzioni per costruire un Triangolo di Sierpinski in 2D, su un foglio.

Per prima cosa, ho deciso di partire da una griglia triangolare sulla quale avevo già segnato io 3 punti precisi per capire da dove partire (avevo paura che i "pasticcioni" mi contassero male in partenza e che quindi il risultato potesse essere immediatamente irrimediabile!).

Per comodità, condivido con voi la griglia che ho utilizzato, con già i tre punti di partenza segnati. E' su due pagine perché ho fatto stampare un foglio fronte-retro e, appunto, sul retro ho voluto lasciare una griglia triangolare libera per l'attività successiva.

Per prima cosa ho semplicemente chiesto ai bambini di collegare con matita e righello i tre punti evidenziati e di contare, tra un punto e l'altro, quanti lati di triangolini della griglia ci fossero.

Si formava un bel triangolo equilatero grande.

A quel punto ho detto loro di osservare un lato e di fare un puntino esattamente a metà di esso: contando i triangolini della griglia (che per ogni lato erano 32) bisognava trovare la metà (quindi 16) e fare un puntino. 

Dopodiché sarebbe bastato collegare i tre puntini tra loro per suddividere il triangolo grande in 4 triangoli più piccoli.

Una volta creati i 4 triangoli, ho chiesto ai bambini di scegliere un colore qualsiasi e di colorare solamente il triangolo centrale (quello "a punta in giù").

A quel punto rimanevano 3 triangoli bianchi e uno colorato. Quello colorato era il nostro "buco", cioè il triangolo che non si sarebbe più dovuto toccare.

Per ciascuno degli altri tre triangoli, invece, ho detto ai bambini di procedere come prima: ciascun lato era di 16 triangoli, quindi bisognava trovare la metà (8) e fare un puntino, per poi collegare le linee e suddividere ogni triangolo in 4 triangoli più piccoli.

Anche in questo caso, ho chiesto ai bambini di scegliere un colore diverso dal precedente e di colorare solo il triangolo centrale di ogni modulo. Tutti i triangoli con la stessa dimensione ho scelto di farli colorare dello stesso colore (per fare in modo che l'effetto finale fosse più piacevole, regolare e "ipnotico"). 

Abbiamo continuato di conseguenza: i triangoli colorati non si dovevano più toccare, mentre per ciascuno di quelli bianchi si sarebbe proceduto allo stesso modo. Divisione a metà dei lati (4), suddivisione in 4 triangoli più piccoli e coloritura solo di quello centrale con un nuovo colore uguale per tutti.

"Maestra! La prima volta ne abbiamo colorato 1. Poi 3. Adesso 9!!!" 

"E la prossima volta quanti ne dovrete colorare???"

Proviamo! 

Dividiamo i lati dei triangoli bianchi a metà (2), otteniamo 4 triangolini più piccoli e coloriamo quelli centrali tutti di un colore a nostra scelta!

"Sono 27!!!" 

"Sì, perché si fa sempre x3!" 

"Eh...ma è sempre di più da colorare..." 

"Sì, cioè sembra di più, ma in realtà è di meno, perché i triangoli sono sempre più piccoli!" 

"Sì...beh...forse è vero..." 

"Maestra, ma sono di più o di meno da colorare? Li possiamo contare?"

"Certo!"

"Adesso abbiamo colorato 27 triangoli, da 4 triangolini ciascuno..."

"Sì, e prima 9 triangoli da 16 triangolini l'uno..."

"Dopo saranno...ehm...27 x 3...81 da 1!"

"Allora vedi che avevo ragione io?!?"

...piccole testoline che lavorano e ragionano...il tutto spontaneamente! 

Insomma, abbiamo scoperto che più si va avanti più sembra di colorare di più...e invece si colora sempre di meno! Curioso, no?

Beh, ma sul nostro disegno può essere fatto ancora l'ultimo passaggio: dividiamo i lati dei triangoli bianchi a metà (stavolta 1 triangolo, come quello base della griglia) e infine coloriamo gli 81 triangolini centrali "a testa in giù" con un colore a nostra scelta.

Ed ecco, per finire, le nostre opere complete!!! Una più meravigliosa dell'altra!!!

 

Bravissimi i bambini, considerando che sono solo in classe terza!!! Seguendo con attenzione le indicazioni sono comunque riusciti a fare dei lavori praticamente perfetti!!!

Visto che avevamo in mano una griglia triangolare, ho suggerito ai bambini di utilizzare lo spazio restante, davanti e dietro, per fare dei disegni liberi che rispettassero questo curioso tipo di griglia, più o meno a tema natalizio (ecco perché poi abbiamo utilizzato la griglia triangolare anche per le stelle decorative e le lettere per abbellire il nostro albero).

Tutto si basava su una griglia triangolare, strumento curioso e molto diverso dalla quadrettatura del nostro quaderno! Ecco perché ho voluto che la sperimentassero il più possibile (anche se l'avevamo già osservata ed analizzata in classe seconda)!

Dopo aver ragionato geometricamente e matematicamente sull'albero 2D, abbiamo ben pensato di ragionare anche su quello 3D, soprattutto perché da alcuni giorni una domanda riecheggiava tra i bambini: "Ma quanti tetraedri piccoli ci sono serviti per fare questo Albero gigante???"

Insomma, osservando i vari moduli e sapendo come erano stati costruiti, abbiamo fatto insieme il nostro calcolo. Ecco come abbiamo riportato il tutto sul quaderno.

1024 tetraedri!!! Sono proprio un sacco!!! 

L'unione fa la forza e, inutile dirlo, in questo caso è stata di fondamentale importanza!

Così i bambini si sono accorti che ogni volta per proseguire nella costruzione dell'Albero bisognava quadruplicarlo! 

Ricordando l'esperienza dell'"Albero del Doppio", hanno voluto chiamare quest'ultimo l'"Albero del Quadruplo"!

E questo sistema ci ha anche aiutato ad eseguire le moltiplicazioni in riga, scomponendo il primo fattore.

I bambini, molto incuriositi ed invogliati a scoprire come sarebbe continuata la costruzione dell'albero, hanno voluto spingersi più in là che potevano per fare il conteggio dei tetraedri utili per costruire un Albero di Sierpinski 3D sempre più grande!

Si sa, i "numeri grandi" hanno sempre un estremo fascino. E a me questa cosa è servita per farli esercitare sulle scomposizioni e farli ragionare sul significato dell'algoritmo della moltiplicazione. Senza accorgersene, hanno unito l'utile al dilettevole e curioso!

Insomma, questo è stato il nostro lavoro completo.

Ah, e dopo qualche giorno, alla festina di Natale, i genitori sono accorsi e sono stati trascinati a vedere questa opera imponente che li aveva fatti sentire piccoli matematici e scultori insieme! Davvero un'opera grandiosa, affascinante e degna di nota! 

Grandi complimenti da parte delle famiglie che, sbalordite, venivano a immortalare l'albero con grande curiosità e stupore, dato che i loro figli di fronte a loro sapevano spiegare con grande naturalezza chi fosse Waclaw Sierpinski e tutta la storia dei frattali!!! 😂😂😂

Insomma, grande soddisfazione da parte di tutti!

Ah, per non dover buttare l'opera costata tanto lavoro e tanta fatica subito dopo Natale (sarebbe stato un enorme peccato, oltre che uno spreco di materiale! E...dentro all'armadio di sicuro non ci sarebbe stato fino all'anno prossimo!), abbiamo deciso di suddividerla equamente per tutti i bambini delle tre classi il giorno prima di salutarci per le vacanze di Natale.

Con un paio di forbici ho tagliato nei vari moduli l'albero e su ciascuno abbiamo riciclato e incollato una delle stelline che i bambini avevano realizzato per lo sfondo. 

Non avevamo detto che i frattali sono sempre "uguali a loro stessi" anche se ingranditi o rimpiccoliti? Beh, ecco la dimostrazione! 

Un piccolo Albero di Sierpinski in miniatura per ciascuno, da portare a casa come regalino di Natale e in ricordo di questa enorme e incredibile esperienza matematica vissuta insieme!

...e chi se lo scorda più un Albero di Natale così??? 😉